第一章-中点模型的构造.docx

___________________________________________________________________________________________________ 中点模型的构造 技巧提炼： 很多几何题会给出“点×是线段××的中点”这样的条件，那么看到“中点”我们应该想到什么呢？“中点” 有哪些作用呢？ 1、已知任意三角形一边上的中点，可以考虑： （1）倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形。如图 （2）三角形中位线定理。 2、已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线。 3、已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一。” 4、有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点， 例出直角三角形中斜边中点，等腰三角形底边上的中点，当没有这些条 件的时候，可以用辅助线添加。 典例精讲 例 1 如图所示，在△ABC 中，AB=12，AC=20，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围。 例 2 如图所示，已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，连接 BE 并延长交 AC 于点 F，AF=EF， 求证：AC=BE。 变式练习： 1、如图，已知在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE=AC，延长 BE 交 AC 于点 F，AF 精品资料 ___________________________________________________________________________________________________ 与 EF 相等吗，为什么？ 2、如图，在△ABC 中，AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 中点，EF∥AD 交 CA 的延长线交于点 F，交 AB 于点 G， 若 AD 为△ABC 的角平分线，求证：BG=CF。 例 3 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，点 D 为 BC 的中点，点 E、F 分别为 AB、AC 上的点，且 ED⊥FD，以 线段 BE、EF、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，还是直角三角形，或者是钝角三 角形？ 变式练习： 1、如图，已知 M 为△ABC 中 BC 边上的中点，∠AMB、∠AMC 的平分线分别交 AB、AC 于点 E、F，连接 EF。 求证：BE+CFEF。 1 2、如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DM⊥DN，如果 BM2+CN2=DM2+DN2，求证：AD2= （AB2+AC2）。 4 精品资料 ___________________________________________________________________________________________________ 例 4 已知，如图，在△ABC中 ，BE、CF 分别为边 AC、AB 的高，D 为 BC 的中点，DM⊥EF 于点 M，求证：FM=EM。 例 5 △ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°，如图，连接 DE，设 M 为 DE 的中点，连接 MB、 MC。求证：MB=MC。 例 6 问题一：如图（a），在四边形 ABCD 中，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接 EF 并延长，分别 与 BA、AD 的延长线交于点 M、N，求证：∠BME=∠CNE。 问题二：如图（b），在四边形 ABCD 中，AB 与 CD 相交于点 O，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接 EF，分别交 DC、AB 于点 M、N，判断△OMN 的形状，请直接写出结论。 问题三：如图（c），在△ABC 中，ACAB，D 点在 AC 上，AB=CD，E、F 分别是 BC、AD 的中点，连接 EF 并 延长，与 BA 的延长线交于点 G，若∠EFC=60°，连接 GD，判断△AGD 的形状并证明。 精品资料 ___________________________________________________________________________________________________ 例 7 如图，已知在△ABC 中，AB=AC，CE 是 AB 边上的中线，延长 AB 至点 D，使 BD=AB，求证：CD=2CE。 例 8 问题 1：如图（a），三角形 ABC 中，点 D 是 AB 边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点 E、F，AE、 BF 交于点 M，连接 DE、DF，若 DE=kDF，则 k 的值为 。 问题 2：如图(b)，三角形 ABC 中，CB=CA，点 D 是 AB 边的中点，点 M 在三角形 ABC 的内部，且∠MAC=∠ MBC，过点