粗糙核参数型Marcinkiewicz函数的L^p（R^n）有界性.pdf

56 数学教学研究 第27卷第 ll期 2008年 11月 粗糙核参数型Marcinkiewicz函数的Lp( “)有界性 牛耀明h。 1．西北师范大学 数学与信息科学学院，甘肃 兰州 730070； 2．包头师范学院数学学院，内蒙古 包头 014030 摘 要：得到了分别与Littlewgod-Paley 一函数和Lusin面积函数相应的参数型Marcinkiewicz函 数 ， 和 ．^．s的Lp( “)(2≤po。)有界性，其中~2EL(1ogL) (一)，hE (十)． 关键词：Marcinkiewicz函数；Littlewood-Paley 函数；粗糙核 中图分类号：O174．2 1 引盲及足理 用S广表示 一(≥2)中的单位球面，其上的勒贝格测度用da=da(x)表示．12EL(9一)是 “中零次齐次 函数且满足消失性条件l Q(z)da(x)=o．对 l，定义H(R+)是指在 }上满足条件IIhIIL；e(II+．孚) (JI+I^()1)≤1的所有可测函数^的集合，且相应地 (吨+)= (R+，d了t)．参数型Marc iwi函数其定义为_h(厂)()=(『I，，￡)lz)。，其中lD是复数，P=+i，^()是豫上的径向 函数，l^(z，=J．．叫。≤，__兰}兰业，()．与Little、v0。d_Pa1ey一函数和Lusin面积函数相应 的参数型Marcinkiewicz函数 ，Z和 Pnl^ls分别定义为 (( (肌 (击 )IPnI I。)。(1)； ((z)(』。I，(，)￡I。害)1z／，其中r()={(，)￡∈ ：fz—I)． 当^() 1时，记 ，Z=／za，， l^．s= ，s(厂)．在核函数满足Lip．(1)(o ≤1)条件下，1999年 Sakamoto等考虑了 以及 矗．s的L (R)有界性Ⅲ．在核不具有任何光滑性的条件 f2EL(1ogL) ( ) ． 下，2002年丁勇等得到了 ，和 ；lI^．是 (R”)(2≤po。)有界的[引．受上述研究的启发，本文将讨论当Q EL(1ogL)，( ) 和 ；ls的L ( )有界性．本文的主要结果如下： ， 定理 设Q∈L(1ogL)／r(S，I)满足零次齐次条件和消失性条件，若 ^∈Hr( })，1 o。，Re(p)=a o，如果2≤p。。，则 II ，z( lip≤ II厂II一；II ( lI≤ II厂II，，其中C G 是与厂和lD无 关的常数． 推论 在定理的条件下，若∞∈A ，则 II ，^l5( II．≤G，It ，Z( IIz．≤ II厂IIz 其中G．是 与f和P无关的常数． 2 定理和推论的证明 引理2．1在定理的条件下，设Al，对于任意非负局部可积函数 有(J l；．z((z)。≯()如)≤ 收稿 日期：2008-10—03 第27，卷第 ll期 2008年 l1月 数学教学研究 57 (．『I厂()IMe()如[)12／成立，其中M是Hardy-Little哪d极大函数· 证明 由[3]知 。( ()是L2( )有界的，从而有 (．r (厂)(z)z(z)dz)=(JlJ-』 (南 )“IPn．^(Ittrkl，I(z)出) ≤(』 IRh．(I。[su．d(t+ltI)”声()])。 ≤c( ())2 )V。≤警(f(x 汕(1)。． 定理的证明 对于2≤ 。。有 If．矗( 一((』[．((z)。] )}V 一 ( ) 如 )Il 。 1 由引理2．1和H61der不等式得 (』；：‘((z)。(z)dz)V。≤罢(』Ifx()I。()如)。