四川省遂宁中学校2024-2025学年高三二模数学试题（含答案解析）.docx
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四川省遂宁中学校2024-2025学年高三二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（????）
A． B． C． D．
2．已知是等差数列的前项和，若，，则数列的首项（????）
A．3 B．2 C．1 D．
3．“”是“”的（???）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（????）
A． B． C． D．
5．一个笔盒中装有6支笔，其中3支黑色，2支红色，1支蓝色．若从中任取2支，则“恰有1支黑色”的概率是（????）
A． B． C． D．
6．已知向量，则（????）
A． B．2 C． D．3
7．数列中，，，记，，则（????）
A． B． C． D．
8．已知函数，，对，，使得成立.下列结论正确的是（??????）
A．，使得
B．函数的最大值为0
C．a的取值范围为
D．过作的切线，有且只有一条
二、多选题
9．已知函数，则（????）
A．是偶函数 B．在区间上是增函数
C．的最大值为0 D．在内有2个零点
10．下列说法正确的是（????）
A．已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差
B．数据的第60百分位数为7
C．若样本数据的平均数为3，则的平均数为10
D．用简单随机抽样的方法从51个样本中抽取2个样本，则每个样本被抽到的概率都是
11．在平面直角坐标系中，已知点，，满足的动点的轨迹为曲线．则下列结论正确的是（????）
A．若点在曲线上，则点和也在曲线上
B．点的横坐标的取值范围是
C．曲线上点的纵坐标的最大值为2
D．曲线与圆只有一个公共点
三、填空题
12．的展开式中的系数为（用数字作答）
13．“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹.李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家.他历经27个寒暑，三易其稿，完成了192万字的巨著《本草纲目》，被后世尊为“药圣”.为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图所示.某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点A、B、C，分别测得雕像顶的仰角为，且米，则雕像高为米.
??
14．记不超过的最大整数为．若函数既有最大值也有最小值，则实数的取值范围是．
四、解答题
15．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知
(1)证明：；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
16．如图，圆台下底面圆的直径为是圆上异于的点，且为上底面圆的一条直径，是边长为6的等边三角形，.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值.
17．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)当时，证明：当时，恒成立．
18．已知点A，B是椭圆的左，右顶点，椭圆E的短轴长为2，离心率为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)点O是坐标原点，直线l经过点，并且与椭圆E交于点M，N，直线与直线交于点T，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值．
19．设函数（其中是非零常数，是自然对数的底），记．
(1)求对任意实数，都有成立的最小整数的值；
(2)设函数，若对任意，，都存在极值点，求证：点在一定直线上，并求出该直线方程；
(3)是否存在正整数和实数，使且对于任意，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由．
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《四川省遂宁中学校2024-2025学年高三二模数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
C
A
D
C
D
AC
ACD
题号
11
答案
AC
1．C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
2．B
【分析】由已知条件，利用等差数列通项与前项和基本量的计算，列方程组求出首项和公差.
【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，即，所以，
又因为，可得，即，联立解得，.
故选：B.
3．A
【分析】根据充分必要条