2008年全国初中数学竞赛试题及答案.doc

PAGE PAGE 8 2008年全国初中数学竞赛试题及参考答案 　一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分，以下每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，期中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1、已知实数，满足，，则的值为（　）。 A、7　　B、　　C、　　D、5 ［答］A 解：因为＞0，≥0，由已知条件得 ，， 所以　＝ 2、把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m，n，则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是（　　）。 A、　　B、　　C、　　D、 ［答］C 解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数，由题意知 　　△＝＞0，即 　　通过枚举知，满足条件的，有17对，故 3、有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有（　　）。 A、6条　　B、8条　　C、10条　　D、12条 ［答］B AB A B C D E O F （第3题答案图） A、B、C、D，两两连线可以确定6条不 同的直线；小圆周上的两个点E、F中，至 少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与 BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中， 至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线， 从而这6个点可以确定的直线不少于8条。 当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线， 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条。 4、已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（　　）。 ABCODE（第4题答案图）A、　　B、 A B C O D E （第4题答案图） ［答］B 解：如图，连接OE，OA，OB，设∠D＝，则 ∠ECA＝120°－＝∠EAC 又因为∠ABO＝ 所以　△ACE≌△ABO，于是AE＝OA＝1 5、将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（　　）。 A、2种　　B、3种　　C、4种　　D、5种 ［答］D 解：设是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列， 首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾。 又如果（1≤i≤3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数。 所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5；　　　　2，3，5，4，1；　　　2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5；　　　　4，5，3，2，1。 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6、对于实数u，v，定义一种运算“”为：uv＝uv＋v，若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数的取值范围是　　　　　。 ［答］＞0，或＜－1 解：由，得， 　　依题意有　解得，＞0，或＜－1 7、小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是　　　　 分钟。 ［答］4。 解：设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s米。 每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则　① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则　② 由①，②可得，所以 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟。 8、如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝11，点M是BC的中点，AD是 ABCDMF（第8题） A B C D M F （第8题） ［答］9。 解：如图，设点N是AC的中点，连接MN， ABCDMF（第8题答案图）N A B C D M F （第8题答案图） N 所以∠FMN＝∠BAD＝∠DAC＝∠MFN， 所以FN＝MN＝AB， 因此FC＝FN＋NC＝AB＋＝9。 9、△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心l作DE∥BC，分别与AB、AC相交于点D，E，则DE的长为　　　　。 ［答］ 解：如图，设△ABC的三边长为， ABCD A B C D E I r ha （第9题答案图） ， 所以　， 因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此 所以DE＝ 故　DE＝。 10、关于x，y的方程的所有正整数解为　　　　　。 ［答］　 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是