具有批到达的滞后排队系统分析.pdf

维普资讯 2002年 12月 应用数学与计算数学学报 第 16卷 第 2期 Dec．，2002 COMM ．ON APPL．MATH．AND COMPUT V．o1．16 No．2 具有批到达的滞后排队系统分析 周文慧 尹小玲 (中山大学 统计科学系，广州， 510275) 摘 要：本文考虑一个基本模型为 M I／G[1／1／~ 的排队系统．引入了 (r，N)．策 略 (也称为滞后系统)．首先分析了嵌入马氏链 {Q ， ∈Ⅳ)的平稳分布，得到其概率母 函数 P(z)，再利用半再生过程理论得到原系统的稳态队长分布的概率母函数 丌(z)． 关键词：批到达排队系统， (rN)一策略，半再生过程． 1．引 言 现在 已有许多排队分析工作是在研究服务员有休假的排队系统．也就是说在某些 时间段中，服务员是不对顾客服务的．尽管系统队列中仍有顾客在等待．对服务员有休 假的排队系统 的全面介绍可参看文献 [6，7]．N一策略是一种特殊的服务员休假系统．由 Yadin和 Naor在 1963年首次提 出 (参见文献 [8])，指的是服务员只有 当顾客数达到 N时，才开始工作．而在批到达服务系统中，有一r一准则，即当顾客数 目少于r时，服 务员进入休假．复合 N一策略与 r一策略，则得到 (r，N)一策略．如果在一排 队系统中引入 (r，N)一策略，则称该系统为滞后排队系统． D．C．R．Muh在文献 [10]中考虑了具有启动 时间的滞后排队系统，得到了顾客离开时刻点的稳态队长分布．L．TADJ在文献 [3]中 考虑了在基本模型 MIGI1下的滞后排队系统得到了稳态队长分布的概率母函数． 在现实生活中顾客的到达往往是成批的，而一般可以用一个广义奇次泊松过程来 描述这一批到达过程．在服务员休假 的具有批到达 的排队系统可参看文献 [4，9]．本文 讨论的是一个具有批到达的滞后排队系统．由于批到达与 (r，N)一策略的使用，给处理 带来了一定难度．本文的主要工作就在于解决这一问题．该模型对一些大型随机服务 系统是很有现实意思的，例如：公共汽车的调度，只有 当乘客达到 r时 (即乘客坐满 时)才发车，而且顾客的到达也时成批 的． 本文的基本结构为：第一节为引言，第二节时数学模型的描述及声 明．对嵌入马 氏链的分析在第三节，第四节则是原过程的分析． 数学模型描述及声明 考虑一个 【]lGt1／1的排队系统 ，系统容量无限．到达过程为一个广义奇次泊 松过程．也就是说顾客到达是强度为 的齐次泊松过程．每一到达时刻有一批顾客到 达，这一批顾客的个数为一随机变量 x，x的概率分布为 P{X=n)：d，均值为 d， 本文 2001年 12月 10 日收到 维普资讯 应用数学与计算数学学报 16卷 概率母函数为D(z)= ∑ dn ．从而，在长为 t的区间内有 n个顾客到达的概率为： )： e n)1 n0． k=O ’。 其中 {d()(n))为分布 {dn)的k重卷积．当k=0时，定义： d0((n)：』L0 n=0 n 0 当nk时，定义： d(k)(n)=0 系统服务员以每批 r个顾客进行批量服务，服务时间的分布函数为 B()，均值为 b，Laplace—Stieltjes变换为 B (s)．假设到达过程和服务过程是独立的，再引入 (r，N)一 策略，即当系统队长小于 r时，服务员进行休假，直到队长大于或等于 N时，服务员 才重新开始工作．令 Q(t)为系统再