上海市宝山区顾村中学2014-2015学年高二数学上学期期中试题（含解析）沪教版.doc

上海宝山区顾村中学2014-2015学年第一学期期中考试试卷 高二数学 一、填空题（每题3分，共30分） 1、2和6的等差中项是_______. 【答案】4； 【解析】依据等差中项定义，易知，即2和6的等差中项是4. 2、计算：_______. 【答案】2； 【解析】. 3、_______. 【答案】； 【解析】依据矩阵的线性运算法则，可得 4、数列的前项和，则数列的通项公式为_______. 【答案】； 【解析】依据，可得，又时亦符合，所以. 5、已知，，则_______. 【答案】； 【解析】可以直接带入求解. ，，， 6、不等式的解集为_______. 【答案】； 【解析】，解之 7、已知，，与的夹角为，则_______. 【答案】； 【解析】，所以 8、已知向量， ，与的夹角为钝角，则的取值范围为_______. 【答案】； 【解析】与的夹角为钝角且与不共线，所以有，解之. 9、已知数列为等比数列，且前项和（为实数），则_______. 【答案】； 【解析】由，可得，又为等比数列，所以有，结合，可得. 10、观察如图数表，根据表中的变化规律，为与数表中的第_______行，第_______列. 【答案】第行，第列. 【解析】数表问题关键在于找到里面的变化规律，通过观察不难发现，数表第行的最后一个数刚好为一个平方数，第行的数据个数刚好为个，结合，，可知位于第行，再从行最后一个数字（第行，第列）往前推，可以得到在第行，第列. 二、选择题（每题4分，共16分） 11、数列的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】可以采用代入法逐一排除，易知选择B. 12、向量，，则，关系为（ ） A.垂直 B.同向平行 C.反向平行 D.共线 【答案】A. 【解析】快速排除B，C，D，语义重复，选择A.另外结合，同样可得. 13、已知数列满足，则共有（ ）项. A. B. C. D. 【答案】D. 【解析】由于，从而可得 ，所以共有项. 14、在等比数列中，，且前项和满足，则首项的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D. 【解析】结合无穷等比数列前项和极限存在的条件，且，所以有： ，解之 三、解答题（满分54分） 15、（本题满分8分） 解关于、的方程组，并对解的情况进行讨论. 【答案】当时，解为；当时，解为；当时，方程组无解. 【解析】，， （1）当时，方程组有唯一解，此时，即； （2）当时，，方程组有无穷多组解，通解可表示为； （3）当时，，，，此时方程组无解. 16、（本题满分8分） 已知数列为等差数列，满足：，，求数列的通项公式. 【答案】或. 【解析】根据等差数列的性质，易知，又，所以或， 当，此时数列的通项公式为；当时，数列的通项公式为. 17、（本题满分8分） 已知，（其中、分别为、轴正方向的单位向量） （1）若，求、的夹角； （2）若，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】易知， （1）当时，，，设、的夹角的夹角为，则，所以； （2）由于，，所以，，由可得：，即，解之. 18、（本题满分10分） 已知数列中，，它的前项和.如果是一个首项为，公比为的等比数列，且，求. 【答案】当时，；当时，；当时，. 【解析】易知数列亦为等比数列，且首项为，公比为. （1）当时，，，； （2）当时，； ①当时，； ②当时， 19、（本题满分10分） 已知，与的夹角为，与的夹角为，且，求实数、的值. 【答案】 【解析】 如图所示建立直角坐标系，则，，，由于，所以有：，解之. 20、（本题满分10分） 已知数列的前项和. （1）计算、、、； （2）猜想的表达式，并用数学归纳法证明； （3）对于任意的正整数都有，求实数的取值范围. 【答案】（1），，，；（2），证明见解析；（3）. 【解析】 （1），，，； （2）由（1）可以猜想 ①当时，显然成立； ②假设，，当时， ， 说明时，猜想也成立；综合①②，猜想成立. （3），随着增大，增加，但，由于对均成立，所以即可. 6