北京市市东城区171中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题+Word版含解析.doc

北京市第一七一中学2016-2017学年度第一学期 高二年级数学（理）期中考试试题 （考试时间：100分钟 总分：100分） 一、选择题： 1．图是一个正四棱锥，它的俯视图是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于几何体是正四棱锥，所以俯视图是正方形，又因为有四条可以看见的棱，所以正方形中还有表示棱的线段，故选． 2．原点到直线的距离为（ ）． A． B． C． D． ，故选． 3．正方体的表面积与其外接球表面积的比为（ ）． A． B． C． D． ，则正方体的表面积， 由正方体的体对角线就是其外接球的直径可知： ，即， 所以外接球的表面积：， 故正方体的表面积与其外接球的表面积的比为：． 故选． 4．如图，直线，，的斜率分别为、、，则（ ）． A． B． C． D． ，，，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以，综上可知：，故选． 5．平面平面，点，，，，有，过，，确定的平面记为，则是（ ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．以上都不对 ， ∴，， 又， ∴， ∴，， 又∵，， ∴，故选． 6．对于平面和异面直线，，下列命题中真命题是（ ）． A．存在平面，使， B．存在平面，使， C．存在平面，满足， D．存在平面，满足， 选项，如果存在平面，使，，则，与，是异面直线矛盾，故不成立； 选项，如果存在平面，使，则，共面，与，是异面直线矛盾，故不成立； 选项，存在平面，满足，，则，因为，是任意两条异面直线，不一定满足，故不成立； 选项，存在平面，使，，故成立． 综上所述，故选． 7．直线的倾斜角范围是（ ）． A． B． C． D． ，则， ∵， ∴， 即：， ∴，故选． 8．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）． A． B． C． D． ，，， ∴，，，， 所以四个面中面积最大的是，故选． 9．若直线始终平分圆的周长，则的取值范围是（ ）． A． B． C． D． ，得圆心坐标为：， 因直线始终平分圆的周长，则直线必过点， ∴， ∴， ∴，即，当且仅当时，等号成立， ∴的取值范围是：，故选． 10．如图，正方体的棱长为，动点、在棱上，动点，分别在棱，上，若，，，（，，大于零），则四面体的面积（ ）． A．与，，都有关 B．与有关，与，无关 C．与有关，与，无关 D．与有关，与，无关 在棱上，在棱上，，所以的高为定值，又为定值，所以的面积为定值，四面体的体积与点到平面的距离有关，即与的大小有关，故选． 二、填空题： 11．已知圆，则过点的圆的切线方程是__________． 【解析】∵点在圆上，且， ∴过点的且切线斜率不存在，故切线方程是：． 12．直线所经过的顶点坐标为__________． 【解析】把整理后得：， ∴，解得：， 故直线恒过定点． 13．已知，是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于，两点，则周长为__________． 【解析】由椭圆，可得：． 的周长． 14．在棱长为的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去个三棱锥后，剩下的几何体的体积是__________． 【解析】．【注意有文字】 15．在三棱锥中，已知，，从点绕三棱锥侧面一周回到点的距离中，最短距离是__________． 【解析】 将三棱锥沿展开，如图所示： 由题意可知：，， ∴． 即从点绕三棱锥侧面一周回到点的距离中，最短距离是． 16．二面角的大小是，线段，，与所成的角，则与平面所成的角的正弦值是__________． 【解析】 过点作平面的垂线，垂足为，在内作，垂足为，连接， 则即是二面角的平面角， ∴， 设，则，，，， ∴． 即与平面所成角的正弦值是． 三、解答题 17．如图，在正方体中，、为棱、的中点． （）求证：平面． （）求证：平面平面． （）若正方体棱长为，求三棱锥的体积． （）， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴． 又∵、分别是，的中点， ∴， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面． （）中， ∵平面， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴平面， 又∵平面， ∴平面平面． （）， ∴． 18．如图，是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为． （）求证：平面． （）求二面角的余弦值． （）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论． （）平面，平面， ∴， 又∵是正方形， ∴， ∵， ∴平面． （），，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系， ∵与平面所成角为，即， ∴， 由，可知：，． 则，，，，， ∴，， 设平面的法向量为，则 ，即， 令，则． 因为平面，所以为平面的法向量， ∴， 所以． 因为二面角