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泰州市2015届高三第一次模拟考试 数 学 试 题 (考试时间：120分钟 总分：160分) 命题人：朱占奎 张 俊 吴春胜 审题人：丁凤桂 石志群 注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效． （参考公式：，） 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1.已知，，则 ▲ ． 2.函数 的最小正周期为 ▲ ． 3.复数满足（是虚数单位），则 ▲ ． 4.函数的定义域为 ▲ ． 5.执行如右图所示的流程图，则输出的为 ▲ ． 6.若数据的方差为，则 ▲ ． 7.袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 ▲ ． 8.等比数列中，，，则数列的前项和为 ▲ ． 9.已知函数是奇函数，则 ▲ ． 10.双曲线的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的 离心率 ▲ ． 11.若是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为 ▲ ．（写出所有真命题的序号）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①若直线，则在平面内，一定不存在与直线平行的直线． ②若直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直． ③若直线，则在平面内，不一定存在与直线垂直的直线． ④若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线． 12.已知实数满足，，则的取值范围为 ▲ ． 13.在中，角所对的边分别为，若且，则面积的最大值为 ▲ ． 14.在梯形中，，，为梯形所在平面上一点，且满足=0，，为边上的一个动点，则的最小值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分14分） 在平面直角坐标系中，角的终边经过点． （１）求的值； （２）若关于轴的对称点为，求的值． 16.（本题满分14分） 如图，在多面体中，四边形是菱形，相交于点，，，平面平面，，点为的中点． （1）求证：直线平面； （2）求证：直线平面． 17.（本题满分14分） 如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2km的半圆和一个以为斜边的等腰直角三角形构成，其中为的中点．现准备在公园里建设一条四边形健康跑道，按实际需要，四边形的两个顶点分别在线段上，另外两个顶点在半圆上， ，且间的距离为1km．设四边形的周长为km． （1）若分别为的中点，求长； （2）求周长的最大值． 18.（本题满分16分） 如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点．若直线斜率为时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论． 19.（（本题满分16分） 数列，，满足：，，． （1）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列； （2）若数列，都是等差数列，求证：数列从第二项起为等差数列； （3）若数列是等差数列，试判断当时，数列是否成等差数列？证明你的结论． 20.（本题满分16分） 已知函数，． (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2) 若直线是函数图象的切线，求的最小值； (3)当时，若与的图象有两个交点，求证：． （取为，取为，取为） 泰州市2015届高三第一次模拟考试 数 学 试 题(附加题) (考试时间：30分钟 总分：40分) 21.（［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分． A．（本小题满分10分，几何证明选讲） 如图，与圆相切于点，是的中点，过点引圆的割线，与圆相交于点，连结． 求证：． B．（本小题满分10分，矩阵与变换） 已知矩阵，，若矩阵对应的变换把直线变为直线，求直线的方程． C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲） 己知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，直线与圆相交于两点，求弦的长． D．（本小题满分10分，不等式选讲） 已知正实数满足，求证：． ［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（(本小题满分10分) 如图，在长方体中，，，与相交于点，点在线段上（点与点不重合）． (1)若异面直线与所成角的余弦值为，求的长度; (2)若，求平面与平面所成角的正弦值． 23.（(本小题满分10分) 记为从个不同的元素中取出个元素的所有组合的个数．随机变量表示满