三角恒等变换公式.doc

三角恒等变换公式及其证明 两角和、差的三角函数公式 （1）cos（α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β ……………………………………………………① 证明：利用三角函数线证明.（详见课本必修4 P125） cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β ………………………………………………………② 证明：cos（α＋β）＝cos[α－（－β）]＝cos αcos（－β）＋sin αsin（－β） ＝cos αcos β－sin αsin β. 例：求cos 105°. 解：cos 105°＝cos（60°＋45°）＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝×－× ＝－ ＝. （2）sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β ……………………………………………………③ 证明：sin（α＋β）＝cos ＝cos ＝cos cos β＋sin sin β ＝sin αcos β＋cos αsin β. sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β ………………………………………………………④ 证明：sin（α－β）＝sin[α＋（－β）]＝sin αcos（－β）＋cos αsin（－β） ＝sin αcos β－cos αsin β. （3）tan（α＋β）＝ …………………………………………………………⑤ 证明：tan（α＋β）＝＝ ＝. tan（α－β）＝ ……………………………………………………………⑥ 证明：tan（α－β）＝tan[α＋（－β）]＝＝. 二倍角公式 （1）cos 2α＝cos2 α－sin2 α ……………………………………………………………………⑦ 证明：cos 2α＝cos（α＋α）＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2 α－sin2 α. （2）sin 2α＝2sin αcos α …………………………………………………………………………⑧ 证明：sin 2α＝sin（α＋α）＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α. （3）tan 2α＝ ………………………………………………………………………⑨ 证明：tan 2α＝tan（α＋α）＝＝. 变式： 公式⑦变式： cos 2α＝cos2 α－sin2 α＝（1－sin2 α）－sin2 α＝1－2sin2 α ……………………………⑩ ＝cos2 α－（1－cos2 α）＝2cos2 α－1 …………………………… 公式⑩变式： cos 2α＝1－2sin2 α 2sin2 α＝1－cos 2α sin2 α＝. 公式变式： cos 2α＝2cos2 α－1 2cos2 α＝cos 2α＋1 cos2 α＝. 公式和合称降幂公式. 公式变式：sin ＝± ……………………………………………… 证明： sin2 α＝ sin2 ＝ sin ＝±. 公式变式：cos ＝± ……………………………………………… 证明： cos2 α＝ cos2 ＝ cos ＝±. 公式和合称半角公式. 辅助角公式 asin x±bcos x＝sin（x±），其中tan ＝. ………………………… 证明：（如图）asin x±bcos x＝ sin x±cos x ＝（sin xcos ±cos xsin ） ＝sin（x±）. — 2 — －（α＋β） [ （ ） ] [ ] [（ ） ] ] －α －β O （ ） －α （ ） －α （ ） x y （a，b） O a O b