上海交大版大学物理第七章参考答案.doc
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习题7
7-1.原长为的弹簧,上端固定,下端挂一质量为的物体,当物体静止时,弹簧长为.现将物体上推,使弹簧缩回到原长,然后放手,以放手时开始计时,取竖直向下为正向,写出振动式。(g取9.8)
解:振动方程:在本题中,,所以; 。
取竖直向下为正向弹簧长为0.1m时为物体的平衡位置,所以如果使弹簧的初状态为原长,那么:A=0.1m,
当t=0时,x=-A,那么就可以知道物体的初相位为π。
所以: 即。
7-2.有一单摆,摆长,小球质量时,小球正好经过处,并以角速度向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动,试求:(1)角频率、频率、周期;(2)用余弦函数形式写出小球的振动式。(g取9.8)
解:振动方程: 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。
(1)角频率:,
频率: ,
周期:(2),∴
根据初始条件时:
可解得:
所以得到振动方程:
7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体,最初用手将物体在弹簧处托住,然后放手,此系统便上下振动起来,已知物体最低位置是初始位置下方处求:(1)振动频率;(2)物体在初始位置下方处的速度大小。
解:(1)由题知2A=10cm,所以A=5m,选弹簧原长下方5m处;
,知,∴ ,
振动频率;
(2)物体在初始位置下方处,对应着是x=3m的位置,所以:,由,有:,
而,那么速度的大小为 。
7-4.一质点沿轴作简谐振动,振幅为,周期为。当时位移为,且向轴正方向运动。求:(1)振动表达式;(2)时,质点的位置、速度和加速度;(3)如果在某时刻质点位于,且向轴负方向运动,求从该位置回到平衡位置所需要的时间。
解:(1)由题已知 A=12m,T=2 s∴
又t=0时,,由旋转矢量图,可知:
故振动方程为;
(2)将t=0.5 s代入得,
,
,
方向指向坐标原点,即沿x轴负向(3)由题知,某时刻质点位于,且向轴负方向运动质点位置回到平衡位置需要走,: 。
7-5.两质点作同方向、同频率的简谐振动,振幅相等。当质点1在 处,且向左运动时,另一个质点2在 处,且向右运动。求这两个质点的位相差。
解:由旋转矢量图可知:
当质点1在 处,且向左运动时,
相位为,
而质点2在 处,且向右运动,
相位为。
所以它们的相位差为。
7-6. 质量为的密度计,放在密度为的液体中。已知密度计圆管的直径为。试证明,密度计推动后,在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。
解:平衡位置:当时,平衡点为C处。设此时进入水中的深度为a:
可知浸入水中为a处为平衡位置。
以水面作为坐标原点O,以向上为x轴,质心的位置为x,分析受力:不管它处在什么位置,其浸没水中的部分都可以用来表示,所以力,
再令:,可得:可见它是一个简谐振动周期为:7-7.证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为:
证明:两根弹簧的串联,将串联弹簧等效于一根弹簧,仍,,
可得: 所以:
代入频率计算式,可得:
7-8.当简谐振动的位移为振幅的一半时,其动能和势能各占总能量的多少?物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半?,,有:,
,
(1)当时,由,
有:,,
∴,;
(2)当:,。7-9.两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) (1)求合振动的振幅。
(2)求合振动的振动表达式。
解:通过旋转矢量图做最为简单。
初相:,初相:,
表明两者处于反相状态,(反相,)
,∴合成振动振幅 ;
合成振动相位: 合成振动方程:
7-10.两个同方向,同频率的简谐振动,其合振动的振幅为,与第一个振动的位相差为。若第一个振动的振幅为。则(1)第二个振动的振幅为多少?(2)两简谐振动的位相差为多少?解:图由图知 =0.01 m∴A2=0.1 m,有:
,∴。
说明A1与A2间夹角为π/2,即振动的位相差为π/27-11.一摆在空中作阻尼振动,某时刻振幅为,经过后,振幅变为。问:由振幅为时起,经多长时间其振幅减为?
解:根据阻尼振动的特征,振幅。
∵,时,,可得:;
那么当振幅减为,
两边取对数,有:,∴。7-12.某弹簧振子在真空中自由振动的周期为,现将该弹簧振子浸入水中,由于水的阻尼作用,经过每个周期振幅降为原来的90%,求求振子在水中的振动周期
(2)如果开始时振幅厘米,阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路程为多少?
解:
又阻尼振动的圆频率:
即
即
从本题解中可知阻尼因子对振幅的影响是比较大的,而对振动的周期影响却很小,有时甚至可以忽略不计。
(2)在整个阻尼振动过程中,振子所经过的路程可近似地表示为:
7-13.试画出和的李萨如图形。解:∵,∴
又∵,可参考书上的图形。
7-14. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动:
(1) (2) (3)
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