专题十八最短路线.docx

专题十八 最短路线 知识聚焦： 渗 及 定 理： 1.两点之间，线段最短。 2.垂线段最短。 常用思考的方式： 1.把立体图形转化成平面图形 2.通过轴对称寻找对称点 3.代数问题构造几何模型求解。 例题导航： 1.如图，长方体的底面边长分别为2㎝和4㎝，高为5㎝，若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路线的长为 。 2. E是正方形ABCD的边AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是 3. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为 4.如图，河岸l同侧的两个居民小区AB到河岸的距离分别为a米、b米（即AA′=a,BB′=b米），A′B′=c米，现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小． （1）在图中画出绿化带的位置。 （2）求AC+BD的最小值。 5.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x。 （1）用含x的代数式表示AC+CE的长； （2）试问点C满足什么条件时，AC+CE的长度之和最小？ （3）根据（2）中的规律和结论，请你构图求出代数式的最小值。 能力达标： 1.如图，一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边饮水，然后回家，他能够完成这件事所走的最短距离是( ) 2.如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）、（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（　　） 3. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ） 4.如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值为（ ） 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°,D是BC边上的一点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是 6.如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（3，0），P是直线y=x上的一点，当PA+PB最小时，试求点P的坐标。 7.在一平直河岸l同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别是3km、2km,AB=akm（a1）。现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水。 方案设计： 某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BP⊥l于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点A与点A关于l对称，A′B与l交于点P）。 观察计算： （1）在方案一中，d1=______（用含a的式子表示）； （2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=______km（用含a的式子表示）。 探索归纳： （1）①当a=4时，比较大小：d1（? ）d2（填“＞”、“=”或“＜”）； ②当a=6时，比较大小：d1（?? ）d2（填“＞”、“=”或“＜”）； （2）请你参考下边方框中的方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？ 拓展提升： 1.如图，等边△ABC的边长为2，M是AB边的中点，P 是边BC上的一点，设PA+PM的最大值和最小值分别为s和l，则s2-l2为（ ） 2.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上取一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（ ） 3.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上任意一点，则PK+QK的最小值（ ） 4.如图，在锐角△ABC中，BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ） 5.如图，当四边形PABN的周长最小时