基于分形理论的孔径和粒径分布密度函数及其应用.pdf

武昌理工学院学报 2011年第 3期 第6卷第 3期 总第 2l期 基于分形理论的孔径和粒径分布密度函数及其应用 陶高梁 (武昌理工学院 城市建设学院，湖北 武汉 430223) 摘 要：国内外大量研究表明，形状与大小各异的岩土体孔隙和颗粒具有分形特性。以孔隙作为研究对象，首 次根据著名的Sierpinski垫片模型和Menger海绵模型推导出孔隙孔径分布密度函数，并通过实验论证了孔径分布密度 函数的正确性；以颗粒作为研究对象，推导 出颗粒粒径分布密度函数。以孔径分布密度函数推导出了孔隙率的表达式， 并准确的预测了土壤的孔隙率；以粒径分布密度函数推导出了粒径区间颗粒质量的表达式，并预测了粒径区间颗粒质 量，其中粒径0．002mm 的粘粒质量的预测值与实测值非常接近 关键词 ：分形：孔径分布密度函数；粒径分布密度函数；孔隙率；颗粒质量 中图分类号：TU443 文献标识码：A 1．前言 大量研究表明，形状与大小各异的岩土体孔隙 ■ 口b() 和颗粒具有分形特性 H。KatzThompson 用扫描 图 1Sierpinski垫片模型 电镜和光学显微镜量测到的数据表明砂岩孑L隙在一 用 ￡表示观测尺度(可以是孔径)，厶是观测总范 定范 围 内确 实具有分形特性 ，其孔 隙率可用 围(即上图中的边长)。根据分形理论，相应观测尺度 ：A( ／L，) 表示。Turcotte根据分形的概念 的非孔隙的网格数Ⅳ(L)可表示 ”： 提 出颗 粒数量一 粒径 的分形模 型可表示为 ： Ⅳ()： L-。 (1) U(r )ocR～，式中N(r )为粒径大于 R 的颗粒 数量，D为颗粒粒径分布分维数 。著名的Sierpinski 其中c为常数，J[)为岩土实体(颗粒)分布分维 垫片模型和Menger海绵模型在岩土体的分形特性研 值 。 究中已得到广泛的应用 卜”叫，本文以二者为基础首次 那么，Ⅳ )个非孔隙的网格的总面积可表示为： 推导出孔隙孔径分布密度函数和颗粒粒径分布密度 (￡)=c _。。 r21 函数，在此基础上又导出了孔隙率和粒径区间颗粒质 根据图1，当观测尺度L= ．时，非孔隙的网格 量的表达式，并用实验数据论证了它们的正确性。 的总面积 ()= ，联合(2)式可得 C： ，那么 这里必须指出KatzThompsonⅢ提出的孔隙率表达式 (2)式可变为： = Af厶 ／L，3-o适合于砂岩，而本文提出的孔隙 ()= 。D (3) 率表达式适合于一般土体。 分析图 1可知，当用三的观测尺度去观测时， 2．孔径和粒径分布密度函数 我们只能发现孔径大于或等于 的孔隙，其面积应 2．1孔径分布密度函数 为总面积(Aa=丘)减去相应非孔隙面积，则利用(3) 图1为Sierpinski垫片模型，白色为孔隙，黑色 式可得 ： 为岩土实体(如颗粒)。我们可以这样理解图 I，当分