恒成立问题常见类型及其解法.ppt

湖北省钟祥市第一中学 / * * 恒成立问题 常见类型及解法 “恒成立”问题是数学中常见的问题，涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的性质、图象,渗透着换主元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中解法通常有:①变量分离法；②构造函数法；③更换主元法；④数形结合法. 一、变量分离法： 例1：当x∈[1,2]时，ax-20恒成立，求a的取值范围. 变量分离法：将不等式中的两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解. 例2: 当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围. 解：当 时，由 得 .令 则易知 在 上是减函数， ，∴ . 所以 二、构造函数法： n m o x y n m o x y n o x y m 例1：当x∈[1,2]时，ax-20恒成立，求a的取值范围. 例2: 当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围. 解：原不等式可转化为 对 例3：不等式 对 恒成立，求 的范围。 ⅱ）当 时由图可得以下充要条件： 得 综合可得 的取值范围为 . ⅰ)当 时，即 时，对一切 恒成立； 恒成立 1 o y x 原不等式等价于 则 另解： 变式：不等式 对 恒成立，求 的范围. 令t=x-10,则p-[t+4+4/t]∈(-∞,-8] 例4：设 ，如果 恒成立， 求 的范围. 设 解：原不等式等价于 可求得 三. 变换主元法： 数形结合法 4. 数形结合法 4. 　　数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征. 4. 数形结合法 要使对一切 ， 恒成立， 例6：当 时，不等式 恒成立，求 的范围. 解：设 则 的图象为下图所示的抛物线， x y o 1 2 1 y1=(x-1)2 显然 , 并且必须也只需当 时， 的函数值大于 的函数值即可。 y2=logax x y o 1 2 1 y1=(x-1)2 y2=logax 归纳 变量分离 构造函数 变换主元 实质 通过构造 函数，化归 到函数的 性质（最值） 或图像解决 数形结合 1.已知函数 的定义域为R，求实数m的取值范围. 2.若对一切实数x，不等式 均成立，求实数m的取值范围. 湖北省钟祥市第一中学 / *