控制的系统稳定性分析.ppt
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应该指出: 没有构造Lyapunov函数的一般方法。 Lyapunov第二法是系统稳定性的充分条件。因此,对于某个系统来说,找不到合适的Lyapunov函数,既不能说系统稳定,也不能说系统不稳定。 3. 应用举例 例1:已知线性系统的状态矩阵,判断系统的稳定性。 解(1): 状态矩阵非奇异,所以系统只存在一个在原点处的平衡点; 取能量函数 ,满足条件; 计算该系统能量的变化量: 显然,能量的变化量函数 正定。结论:此系统不稳定。 (2)解:状态矩阵非奇异,所以只存在一个在原点处的平衡点;取Lyapunov函数 ?????? ,满足条件; 计算该系统的能量的变化量: 显然,能量的变化量函数 半负定。 需要进一步确定在非平衡点处是否有恒等于零的轨线 令 代入状态方程得 所以当 时,必有 不衡为零。 除 外在任意轨线上 不恒为零。只有状态转移轨线与等v圆重合,才会不耗能,但根据系统。状态轨线只可能偶而与等v圆相切,因此,不可能有一条完整的不耗能轨线。 只有轨线穿过横坐标轴的瞬间不耗能,和等v圆重合。 选择不同的Lyapunov函数试试? 重新选择Lyapunov函数 ,得 负定,结论相同。 Lyapunov函数选择的好,判断方便! 例2:已知非线性系统的状态方程,判断系统在平衡点处的稳定性 解: 求平衡点可得唯一平衡点: ; 取Lyapunov函数 ,满足条件; 结论:系统在平衡点处渐近稳定,当 时,有 , 系统为大范围渐近稳定 线性系统中李亚普诺夫稳定性分析方法 线性系统中李亚普诺夫稳定性分析方法 1.李亚普诺夫第一方法 (1)定理:线性系统大范围渐近稳定的充分必要条件: 状态矩阵A的所有特征值都具有负实部。 (2)判别方法:求特征方程 的特征值。 线性系统中李亚普诺夫稳定性分析方法 2.李亚普诺夫第二方法 (1)理论依据: 系统状态空间表达式为 正定李亚普诺夫函数 把状态方程代入得 系统稳定的充分必要条件 负定,即Q,P都为正定实对称矩阵。 李亚普诺夫方程 (2)判别方法(充分条件): 取矩阵Q=I,则 负定,由李亚普诺夫方程 反推P,如果正定,则系统在原点处渐近稳定,且大范围渐近稳定。 也可选 半负定,即Q半正定,由李亚普诺夫方程 反推P正定,然后再确定在 时,有 ???不恒等于零存在。则系统在原点处渐近稳定,且大范围渐近稳定。 例3系统为: ,其平衡状态在原点, 试判断其稳定性。 取实对称矩阵P P正定 所以系统在原点处是渐近稳定的,因为是线性定常系统,所以又是大范围渐近稳定的。 例4已知系统结构图,求K的稳定范围。 解:根据方块图画出模拟结构图,得到一种实现: 分析稳定性,可令u=0。 线性系统来说,A阵非奇异,平衡状态为原点。 为计算简单,取半正定实对称矩阵 解:根据方块图画出模拟结构图。得到实现: 为计算简单,取半正定实对称矩阵 若取 则 只是在原点处才恒等于零,故Q可以取半正定。 则使P成为正定矩阵的充要条件为: 系统为大范围渐进稳定 非线性系统李亚普诺夫稳定性分析 1.近似线性化 系统 ,定义Jacobi矩阵(局部近似线性化法)。 用线性系统的方法判别,局部性 2. 李亚普诺夫第二方法(克拉索夫斯基法) 系统 ,Lyapunov函数 ,系数P0 显然,系统在平衡点原点稳定的充分条件是Q(x)正定。 ?判别方法: 根据状态方程,求雅可比矩阵 ; 选择正定的系数阵P, 可取为I,则 ??? 通过雅可比方程计算Q(x),若正定,则系统在原点渐近稳定; 确定系统是否大范围渐近稳定: 说明:判据所产生的条件是充分
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