2025年数学必修1测试题及答案.docx
数学必修1测试题及答案
姓名：____________________
一、选择题（每题4分，共16分）
1.已知函数$f(x)=x^2-2x+1$，则该函数的图像是：
A.向上开口的抛物线
B.向下开口的抛物线
C.平行于x轴的直线
D.平行于y轴的直线
2.如果$a+b=7$，$a^2+b^2=37$，那么$a^3+b^3$的值为：
A.40
B.44
C.48
D.50
3.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x+y=0$的对称点是：
A.$(-3,-2)$
B.$(-2,-3)$
C.$(3,-2)$
D.$(2,-3)$
4.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1=1$，$S_5=15$，则公差$d$等于：
A.2
B.3
C.4
D.5
5.已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，且$a_1=2$，$a_3=8$，则$q$等于：
A.1
B.2
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{4}$
二、填空题（每题4分，共16分）
6.若$|2x-1|=3$，则$x=$______。
7.若等差数列$\{a_n\}$的首项为$1$，公差为$d$，且$a_3=a_5+2$，则$d=$______。
8.在直角坐标系中，点$(2,-1)$关于点$A(1,0)$的对称点坐标为______。
9.若函数$f(x)=2x-3$与$x$轴的交点为$(-1,0)$，则该函数图像是______（向上开口的抛物线、向下开口的抛物线、平行于x轴的直线、平行于y轴的直线）。
10.等比数列$\{a_n\}$的公比$q$满足$q^2+3q+2=0$，则该数列的前三项为______。
三、解答题（每题10分，共20分）
11.已知函数$f(x)=x^2-4x+3$，求：
（1）函数$f(x)$的图像与x轴的交点坐标；
（2）函数$f(x)$的顶点坐标。
12.在等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公差$d=2$，求：
（1）数列的前10项和$S_{10}$；
（2）数列的第15项$a_{15}$。
四、解答题（每题10分，共20分）
13.解下列方程组：
$$
\begin{cases}
x+y=6\\
2x-3y=1
\end{cases}
$$
14.某工厂计划生产一批产品，如果每天生产30件，则比计划时间少用5天；如果每天生产40件，则正好按计划时间完成。求原计划生产的天数和总共需要生产的产品数量。
五、应用题（每题10分，共20分）
15.小明从家出发前往学校，他可以选择骑自行车或步行。骑自行车的速度是步行的3倍。小明如果步行全程需要45分钟，那么他骑自行车全程需要多少时间？
16.某商品的定价为每件200元，根据市场调查，每降价10元，销量增加20件。如果商家想要在一个月内实现利润最大，应该将商品降价多少元？
六、证明题（每题10分，共20分）
17.证明：对于任意实数$x$，都有$x^2+2x+1=(x+1)^2$成立。
18.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$a_1=2$，公差$d=3$，证明$S_n=3n(n+1)$。
试卷答案如下：
一、选择题（每题4分，共16分）
1.A。因为函数$f(x)=x^2-2x+1$是一个二次函数，其二次项系数为正，所以图像是向上开口的抛物线。
2.B。根据$a+b=7$，$a^2+b^2=37$，利用平方差公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得到$49=37+2ab$，解得$ab=6$。再根据立方和公式$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$，代入$a+b=7$和$ab=6$，得到$a^3+b^3=7(a^2-6+b^2)=7(37-2ab)=7(37-12)=7\times25=175$。
3.C。点$A(2,3)$关于直线$x+y=0$的对称点坐标可以通过求解方程组得到。设对称点坐标为$(x,y)$，则有$\begin{cases}x+y=0\\\frac{y-3}{x-2}=-1\end{cases}$，解得$x=-1$，$y=1$，所以对称点坐标为$(-1,1)$。
4.A。由等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，代入$a_1=1$和$S_5=15$，得到$15=\frac{5}{2}(1+a_5)$，解得$a_5=7$。因为$a_5=a_1+4d$，所以$7=1+4d$，解得$d=2$。
5.B。由等比数列的性质，$a_3=a_1q^2$，代入$a_1=2$和$a_3=8$，得到$8=2q^2$，解得$q=2$。
二、填空题（