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解三角形知识点总结及典型例题 知识点复习 1、正弦定理及其变形 2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边 （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 已知a，b和A，求B时的解的情况: 如果，则B有唯一解；如果，则B有两解； 如果，则B有唯一解；如果，则B无解. 3、余弦定理及其推论 4、余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 5、常用的三角形面积公式 （1）； （2）（两边夹一角）. 6、三角形中常用结论 （1）； （2）. （3）在△ABC中，，所以；；. . 二、典型例题 题型1 边角互化 [例1 ]在中，若，则角的度数为 【解析】由正弦定理可得，,令依次为， 则=== 因为，所以 [例2 ]?若、、是的三边，，则函数的图象与轴( ) A、有两个交点 B、有一个交点 C、没有交点 D、至少有一个交点 【解析】由余弦定理得，所以=，因为1,所以0，因此0恒成立，所以其图像与轴没有交点。 题型2 三角形解的个数 [例3]在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( ) A、，，； B、，，； C、，，； D、，，。 题型3 面积问题 [例4] 的一个内角为，并且三边构成公差为的等差数列，则的面积为 【解析】设△ABC的三边分别：， ∠C=120°，∴由余弦定理得：，解得：， ∴三边分别为6、10、14， . 题型4 判断三角形形状 [例5] 在中，已知,判断该三角形的形状。 【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。 方法一： 由正弦定理，即知 由，得或, 即为等腰三角形或直角三角形. 方法二：同上可得 由正、余弦定理，即得： 即 或, 即为等腰三角形或直角三角形. 【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边） 二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角） 题型5 正弦定理、余弦定理的综合运用 [例6]在中，分别为角的对边，且且 （1）当时，求的值； （2）若角为锐角，求的取值范围。 【解析】（1）由题设并由正弦定理，得，解得，或 （2）由余弦定理，= 即，因为，所以，由题设知， 所以. 三、课堂练习： 1、满足，，的的个数为，则为 . 已知，，解三角形。 3、在中，已知，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是( ) A、 B、 C、 D、 在中，若则角 . 5、设是外接圆的半径，且，试求面积的最大值。 6、在中，为边上一点，，，，求. 7、在中，已知分别为角的对边，若，试确定形状。 8、在中，分别为角的对边，已知 （1）求； （2）若求的面积。 四、课后作业 1、在中，若，且，则是 A、等边三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形 2、中若面积S=则角 3、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔，在塔顶处测得山下水平面上一点的俯角为，在塔底处测得点的俯角为，若铁塔的高为，则清源山的高度为 。 A、 B、 C、 D、 的三个内角为，求当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。 5、在中，分别为角的对边，且满足 （1）求角的大小 （2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小。 1