多种方法证明勾股定理.docx

PAGE 10 PAGE 10 - 10 - 多种方法证明勾股定理 【证法 1】（课本上的证明方法） aaca a a c a a b b c b b c b c c c a a b a b 做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b， 斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相 等。即 1 1 a 2 ? b 2 ? 4 ? 2 ab ? c 2 ? 4 ? 2 ab ，整理得 a 2 b 2 ? c 2 。 【证法 2】（中国古代数学家邹元治的证明） 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每 个直角三角形的面积等于 ab 。把这四个直 D b  G a C b角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三 a b c c 点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上， H C、G、D 三点在一条直线上。 F bcc b c a ∵ RtΔ HAE ≌ RtΔ EBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF。 ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o。 ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o。 A a E b B ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c2。 ∵ RtΔ GDH ≌ RtΔ HAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA。 ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o。又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o。 ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于?a ? b?2 . ∴ ?a ? b?2 ? 4 ? 1 ab ? c 2 。 ∴ a 2 ? b 2 ? c 2 。 2 【证法 3】（三国时期赵爽的证明） 以 a、b 为直角边（ba）， 以 c D cb c b G F A a H E 每个直角三角形的面积等于 1 ab 。 2 把这四个直角三角形拼成如图所示形 C 状。 ∵ RtΔ DAH ≌ RtΔ ABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB。 B ∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2。 ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o。 ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于?b ? a?2 。 ∴ 4 ? 1 ab ? ?b ? a?2 2 ? c 2 。 ∴ a 2 b 2 ? c 2 . 【证法 4】（1876 年美国总统 Garfield 证明） 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每 1 ab 2 个直角三角形的面积等于 。把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B 三点在一条直线上。 ∵ RtΔ EAD ≌ RtΔ CBE, C ∴∠ADE ∴ ∠ADE = ∠BEC。 ∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o。 ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o。 ∴ Δ DEC 是一个等腰直角三角形， 1 它的面积等于 2 c 2 。 又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD∥BC。 ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 b E a B Daccb1 ?a ? b D a c c b 2 ∴ 1 ?a ? b?2 ? 2 ? 1 ab ? 1 c 2 。 2 2 2 ∴ a 2 b 2 ? c 2 。 【证法 5】（今安徽省宣城市宣州区清代数学家梅文鼎的证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ， 斜边长为 c。把它们拼成如图那样的 F 一个多边形，使 D、E、F 在一条直线 b a 上。过 C 作AC 的延长线交DF 于点P。 G c E P ∵ D、E、F 在一条直线上, 且Rt b b Δ GEF ≌ RtΔ EBD, ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180o―90o= 90o 。 又∵ AB = BE = EG = GA = c， C c ba H a D a b A c B ∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o。 ∵ RtΔ ABC ≌ RtΔ EBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD。 ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o。即 ∠CBD= 90o。 又∵ ∠BDE =