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维普资讯 2008年第4期 中学数学研究 29 利用单调函数定义证明一类不等式 山东滕州市第一中学 (277500) 杨列敏 笔者发现，函数Y= )在区间D上单调递 ÷( +1+ )一3= 增，贝0有 。， ∈D时，( 。)-f( ))(。一 )≥ 0，利用这个结论可以操作简便地证明字母变换具 —半__j■一I(1++1++1J)≥詈=3，’故蚁得侍 有对称性的一类不等式，下面略举几例． 证 ． 例1 已知：口，6，c∈R ，求证： + + 例2 已知：，Y，∈R ，且 +Y+ =1，求证 ： ．『 ≥÷(1963年莫斯科竞赛题)． 等一l+J+．—哿—1———+———v——+等一1+她●● 证：令s=a+b+C，构造函数 )：上 ， 则 证：不妨设 g()= ，Ng()在[0，1]上 S 一 f(x)在 [0，s]上单调递增， 单调递增，-．．(一÷)(g()一g(÷))≥0．．‘ · ． ． (一÷) )一÷)] ．-． )≥ 3x~-1(1+x2一)巩 ．．· ≥10(3一 ÷)+ )一 ÷)．令=口得， ≥口。 1)．同理： ≥10(3y_1)， ≥ 3 + +号了·‘3一一}·2～～3‘s．·1同日J埋理：：b≥6·3++s33 。·(3z-1．等 +哿 +等 · 一 ÷·3；点 ≥c·3+÷·3一÷_·3． +Y+z)一3)=0． 3 ++ ++ ≥≥ s ·‘ ++ b～，=s—c～，则 +Y+ =2s，原式转为证 + ≥÷，故只要令s=口 +b +c～，=s一口-。，Y= V+ ≥÷，化为证(+Y+)( +Y+ s—b～，=s—C～，则得 +Y+ =2s，原式化为要 证 + + ≥ 3 ， 化为证 (+ Z-1)≥9，而此式左边 ≥3( )×3( ) z 厶 Y+ )( +Y + )s一8s≥3，而此式左边 ≥ =9，得证． 例7 (第26届IMO竞赛题)设a，b，C∈R ，且 [3(~／xyz)x3( ]s一8s=s，又注意到 6c =1，s=口 +b +c ≥3 (abc)～=3，故命题 一 ·征 明： + + ≥ 得证． 三