数列的凸性及其应用 毕业论文.doc

本科毕业论文 题目：专 业： 姓 名： 指导教师姓名： 指导教师职称： 20 年 月 论文作者签名： 日期： 年 月 日 本科毕业论文（设计）指导教师承诺保证书 本人郑重承诺：我已按有关规定对本篇毕业论文（设计）的选题与内容进行指导和审核，坚持一人一题制，确认由作者独立完成。如果存在学风问题，本人愿意承担指导教师的相关责任。 指导教师签名： 日期： 年 月 日 目 录 承诺保证书 …………………………………………………………………I 1 凸数列的概念…………………………………………………………1 2 凸数列的性质…………………………………………………………2 2.1 凸数列定义的等价条件……………………………………………………2 2.2 关于凸数列不等式的性质…………………………………………………2 2.3 关于凸数列的和的不等式性质……………………………………………4 3 凸数列性质的应用……………………………………………………5 3.1 凸数列定义的等价条件的应用……………………………………………5 3.2 关于凸数列不等式的性质的应用…………………………………………9 3.3 关于凸数列和的不等式性质的应用 ……………………………………11 参考文献……………………………………………………………………15 英文摘要……………………………………………………………………16 数列的凸性及其应用 摘要：现有的数列凸性应用方法如切比雪夫变换、凸性定义，常常被用来解决不等式的证明问题.本文通过凸性的性质及其结论的方法，先按照凸性定义对题目定位分类，然后在凸性的本质上有针对性的拟合，并结合其他应用方法来进行运算和证明，最后可以得到想要的结论性结果.并且文中也阐述了数列凸性在实际中解决问题的重要性，通过一系列的定义方法和结论来论证了在数学竞赛中经常遇到的不等式证明问题.本文也在多个论据和论点的基础上得出了数列凸性在解决数学问题上的重要结论，并且凸性的证明也使得应用不等式的证明更加方便. 关键词：数列的性质 数列的凸性 数列凸性的应用 数列竞赛题 数列凸性问题是长久以来数学领域一直研究的重大课题，至今为止这部分内容仍是难点，但是数列凸性前人也做过不少文章，但随着数学的发展，数列凸性也伴随着新题型的出现.数列凸性的产生不但解决了数列论证问题，同时也解决了部分数列递推问题.数列凸性是从它的本质出发，从定义入手，去寻找一些常用的解法，从中得出一些有针对性的结论.本章论文主要在于数列凸性常规性质的应用和规律性较强数列的证明.当遇到凸性这类问题时，只要抓住它们的特点，一一对应数列凸性的性质就会很快的解决其中的难点.根据数列凸性的不同特点，给出数列凸性的定义的一般形式就可以很快找到突破口，可以很好的解决此类问题，所以学好数列凸性的应用是非常重要的，也是解决常用数列的关键所在. 1 凸数列的概念 下面简单的介绍一下凸数列的概念. 凸数列 若实数列满足为下凸数列，简称为凸数列. 凸数列作为凸函数的离散形式，在数学竞赛中已多次出现，下面对凸数列的性质作一些探讨. 2 凸数列的性质 2.1 凸数列定义的等价条件 性质1 对于实数列，设，则数列为凸数列的充要条件是数列为单调不减数列. 性质2 若数列为凸数列，则其下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列. 2.2 关于凸数列不等式的性质 性质1 若数列为凸数列，则 （1）对任意m、nN，有； （2）对，有； （3）对有. 证明：（1）当n=m时，不等式显然成立 当时，由性质1得 故 当 故 亦即 （2）注意到，,由（1）得 （3）由（2）得 因为 所以 两式相加得 即 因为 所以 性质2 若数列为凸数列，则对于 证明：当不等式显然成立 当，由性质2（2）得 即 亦即 推论1 若数列为凸数列，则对于 推论2 若数列为凸数列，则对于 2.3 关于凸数列的和的不等式性质 性质1 若数列为凸数列，，则 证明：当 当 即 则 性质2 若数列为凸数列，，则数列也为凸数列. 证明：对于 ，当（从而，）时，由性质3得 即 故 即 因此 由定义知，数列为凸数列 3 凸数列性质的应用 3.1 凸数列定义的等价条件的应用 例1实数列满足，且.求最小的，使得对所有的，都有 分析：运用凸数列定义的等价条件性质1可得出，这是解决本题的