《数值计算方法绪论》课件.ppt

教 材 《数值计算方法引论》 李开宁 编 总 学 时 24学时 教师姓名 沙春林 计算方法 绪论 计算方法的意义: （3）基于离散数据建立数学模型时 无法采用传统数学方法获得所需解的三种有代表性 的情形 : （1）所涉及的数学模型无系统的求解析解的方法 （2）所涉及数学模型的解法计算量大，只适用 于规模较小的情形 绪论 什么是计算方法（数值分析）？ 研究怎样通过计算机所能执行的基本运算，求得 各类问题数值解或近似解的学问。 加、减、乘、除、逻辑运算 计算方法（又称为数值分析）的任务: 研究如何对给定的问题构建只须进行有限步四则 运算的计算模型，以便有效地借助于计算机迅速 求出所需要的数值解。这种计算模型通常又称为 计算格式。 绪论 计算方法不同于纯粹数学学科的一些新特点: 面向计算机：将要求解的数学问题简化成一系列的 算术运算和逻辑运算，以便在计算机 上求出问题的数值解。 遵循的相容性原则，满足控制误差积累的数值稳定性 要求，以及评价计算格式优劣的计算复杂性，为适应 大型计算机的计算，现今又提出了并行性要求。 绪论 计算方法的基本内容： 非线性方程求根 方程组求解 插值与拟合 数值微分与积分 常微分方程数值解 绪论 非线性方程求根 解 方程组求解 绪论 y x o 插值 拟合 绪论 a b x y o 数值积分 绪论 绪论：计算格式的相容性与稳定性 定义1.1 如果一个计算格式在取某种极限后可还原成某数学模型，则称该计算格式与此数学模型相容。 定义1.2 如果在用某一计算格式进行数值计算的过程中，误差不会严重积累，从而保证解满足所要求的精确度(简称精度），则称该计算格式数值稳定（简称为稳定），反之则为不稳定。 稳定性分析通常基于对初始误差的传播状况的讨论。 例1.1 试建立计算如下问题的稳定的计算格式 解 分部积分得 由此可建立如下两种计算格式 格式（A）： 格式（B）： 定积分的性质 性质1 性质2 性质3 初始值的选取： 格式（A）, 格式（B）， 格式(A) 格式(B) 精确值 I0 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 0.6321 0.3680 0.2640 0.2080 0.1680 0.1600 0.0400 0.7200 0.6320 0.3680 0.2643 0.2073 0.1708 0.1455 0.1269 0.1124 0.6321 0.3679 0.2642 0.2073 0.1709 0.1455 0.1268 0.1124 稳定性分析 对格式（A）： 所以，计算不稳定。 对格式（B），则有 计算稳定。 稳定性分析 一般来说，若一个计算格式满足如下误差关系式 则认为该计算格式数值稳定。 所以，人们通常以相容性和稳定性作为对一个计算格式可行性的基本要求。 稳定性分析 谢谢！