杆梁结构的有限元分析原理精要.ppt
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作业 -四杆桁架结构的有限元分析 * 整体和局部的坐标转换关系与平面问题一致。 * ANSYS应用实例2 * 4.4梁单元及其坐标变换 一般平面梁单元的描述 * 纯弯梁单元 * 由于单元有四个位移分量,可设梁单元的位移模式v(x)为包含4个待定常数的三次多项式: 由材料力学知,各截面的转角: * 根据边界条件可以确定待定系数,将其进一步回代,可以得到用节点位移表示的梁单元位移。 式中 * 单元的应力应变 在弹性范围内,并且不考虑剪力的影响时,平面刚架单元内任一点的轴向线应变由两部分组成,即轴向应变与弯曲应变之和,其轴向应变与平面桁架轴向应变相同。 轴向应变为 弯曲应变为 y为梁单元任意截面上任意点至中性轴 (x轴)的距离。 得出平面刚架单元应变 图3-5 弯曲应变计算示意图 则 ——平面刚架梁单元的应变转换矩阵。 * 根据梁的平面假定可知梁单元的轴向应变为: 这里利用平面假设(变形后横截面仍保持平面,与纵线正交)如图: * 纯弯曲梁 * 从而可以由单向虎克定律得出单元的轴向应力: * * 由虚功原理可以推得 * 组装总刚仍用后处理法,“对号入座,子块搬家”的方法。如: 对于单元1,我们取i=1,j=2。故 * 对于单元2,取i=2,j=3。故 由于I1=2I2=2I,按照“整体编号, 对号入座”的原则,得总刚为 * 对于此,列出总刚度方程为 * 考虑到边界条件,修正后的刚度方程为 解之得 * 4.5平面刚架的有限元法 小变形情况下,可以把平面刚架单元看成是发生轴向位 移的杆单元和发生挠度和转角的梁单元的组合。 将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组合可得到平面梁单元刚度矩阵。 * 4.5平面刚架的有限元法 单元位移模式 (1)平面桁架的单元位移模式 (2)平面梁的单元位移模式 其中: 综合平面桁架和平面梁单元,得到平面刚架单元的单元位移模式。 * 以下简记为 * 单元的应力和应变 杆单元的轴向应变: 梁单元的轴向应变: 综合平面桁架和平面梁单元,得到平面刚架单元的应力和应变。 简记为: * 局部坐标系下的单元刚度矩阵 局部坐标系服从右手法则,考虑如图所示的典型单元。 利用虚功原理得局部坐标系下的单刚, 其中每个元素都有明确的物理意义 * 从上图可以得出,整体坐标系逆针旋转α角后与单元系相重合。 写成矩阵形式为 坐标变换(平面) * 其中T是一个单位正交矩阵,单位正交矩阵的逆即等于其转置。 简记为 从而得 对称矩阵。 奇异矩阵。 分块性质。 * 坐标变换(空间) * 纯轴向拉压 纯扭转 * xoy面内弯曲 xoz面内弯曲 * 将对应各部分刚度矩阵进行组合以完成完整的单元刚度矩阵 * * 其中 分别表示局部坐标轴对整体坐标 轴的方向余弦。将所有的物理量 写在一起,就得到 * 梁单元的常用等效节点载荷 梁单元在承受非节点载荷下的节点载荷等效值,该等效值一般是根据外力功的计算公式得到的,因此,它与梁单元的边界条件没有关系。 * * * * * 4-75 4-74 * * * * 4.3杆单元及其坐标变换-局部坐标 由于杆单元只有两个节点位移,故可以设杆单元的位移模式为之包含两个待定常数的形式 u(x)=a1+a2x 根据有限元法的基本思路,将弹性体离散成有限个单元体的组合,以结点的位移作为未知量。弹性体内实际的位移分布可以用单元内的位移分布函数来分块近似地表示。在单元内的位移变化可以假定一个函数来表示,这个函数称为单元位移函数、或单元位移模式。 * 回代得 写成矩阵形式为 其中Ni,Nj是形函数。 根据位移条件有u(0)=u0, u(l)=ul,从而得 * 根据几何方程得 根据物理方程得 从而,根据单元分析结果,进行整体分析,求解整体方程组,进行结果分析 * 4.3.2杆单元的坐标变换 * 规定:杆端位移和杆端力取在截面形心上,符号以与单元系坐标正向相同为正,相反为负。下面讨论整体坐标系下与局部坐标系下的转换关系式。整体坐标系单元杆端位移和杆端力仍定义在截面形心上,符号以与坐标正向同向为正反之为负。 局部坐标系 整体坐标系 4.3.2杆单元的坐标变换-平面问题 * 其中是一个单位正交矩阵,单位正交矩阵的逆即等于其转置。
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