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基于截断HOSVD的图像压缩算法 摘要：本文提出了一种新的图像压缩技术。受高阶奇异值分解（hosvd）的启发，该技术将每一幅灰度和彩色图像都作为高阶张量，并丢弃奇异子张量相应较小的奇异值来实现图像压缩。在文中还证明了hosvd是svd矩阵自然扩伸，并且由于n模式奇异向量相应的较大n模式奇异值在张量分解奇异值耗费更多的资源，我们采用截断hosvd来实现图像压缩。通过对比实验表明，基于截断hosvd图像压缩技术比jpeg可以获得更好的性能。 关键词：图像压缩；张量分解；截断hosvd；jpeg image compression algorithm based the truncated hosvd li guoqiang (henan water conservancy and hydroelectric power school,zhoukou466001,china) abstract:this paper presents a new image compression technology.by the higher order singular value decomposition the inspiration of (hosvd),the technology every one grayscale and color images as a higher order tensor,and discard the singular sub-tensor corresponding smaller singular values to achieve the image compression.in the text also proved the hosvd svd matrices natural expansion stretched,and consuming more resources due to the n-mode singular vectors corresponding larger n mode singular value decomposition in tensor singular value,we have adopted the the truncated hosvd to image compression.the experiment shows that the compression based truncation hosvd images than jpeg can get a better performance. keywords:image compression;tensor decomposition;truncated hosvd; jpeg 一、介绍 在过去的几十年中，很多应用都需要处理大量的多维数据。未压缩的多媒体数据需要相当大的存储容量和传输带宽。尽管在海量存储密度、处理器速度和数字通信系统的性能方面取得了快速进展，人们对数据存储容量和数据传输带宽的需求仍不断超越现有的技术能力。最近由于数据密集的多媒体web应用的增长，不仅持续需要更有效的方式来编码信号和图像，而且信号和图像的压缩已成为存储和通信技术的核心部分。虽然静止图像压缩的jpeg标准的国际标准已经由国际标准化组织（iso）和国际电工委员会（iec）建立，但因为底层的基于块的离散余弦变换（dct）架构使得这种编码器的性能在低比特率普遍降低[1]。因此，小波变换已经成为了图像压缩研究的尖端技术，jpeg- 2000标准中的热门是所有基于小波变换的压缩算法[2]。 二、高阶奇异值分解 一个n阶张量表示为 。这是由n个指数即 ，n=1…n，每个 指明了a的n模式，n的维称为a的阶（模式）。特别是，一个标量是零阶张量，一个向量是一阶张量，一个矩阵是一个二阶张量。 定义1：（标量张量积）两个张量 的标量积表示为 ，其中 。 定义2：（弗罗贝纽斯规范）frobenius范数的张量a定义为 。 定义3：（张量距离）在a和b之间的距离定义为 。 定义4：（n模式积）假设张量 ，矩阵 ，则a和u的积被称为n模式积，它可以表示另一个张量 ， 。 定义5：（展开模式- k）n阶张量 的展开模式- k矩阵可以表示为 ，其列索引等于 . 定义6：（a的n -秩）记为 ，它是跨区模式n向量的向量空间的维数。 观察1：考虑二阶张量 ，它是一个矩阵，它的模式- 1矩阵 展开等于自己，模式- 2矩阵展开等于 。观察1有助于我们建立张量和它的展开矩阵之间的连接，并且对证明定理2是非常有用的。 定理1：（hosvd）任何张量 可用积表示： （1） 具有以下属性： (1)是单一的矩阵( )。 (2)核心张量 具有以下属性： 正交：