华南农业大学现代控制理论课件第二章+状态空间描述1讲.ppt

第二章 控制系统的状态空间描述 重点内容：要求熟练掌握 电路、机电系统状态空间表达式的建立（由系统的物理机理或由微分方程推导状态空间表达式）。 线性变换的基本性质以及对角和约当标准型。 传递函数矩阵的定义及求取（由状态空间表达式）。 2.1 线性系统的数学描述 系统描述中常用的基本概念 1. 系统：一些相互制约的部分所构成的整体。 典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和控制器组成。 被控过程具有若干输入端和输出端。 2. 输入和输出： 输入------由外部施加到系统上的全部激励 输出------从外部量测到的来自系统的信息 2.1 线性系统的数学描述 典 型 控 制 系 统 方 框 图 2.1 线性系统的数学描述 3. 系统数学描述的两种基本方法： 2.1 线性系统的数学描述 状态和状态变量 状态向量 状态空间 状态方程 输出方程 状态空间表达式 状态变量结构图 讨论：1、状态变量的独立性。 2、由于状态变量的选取不唯一，因此状态方程、输出方程、动态方程也都不唯一。但是，用独立变量所描述的系统的维数(阶数)应该是唯一的，与状态变量的选取方法无关。 3、动态方程对于系统的描述是充分的和完整的，即系统中的任何一个变量均可用状态方程和输出方程来描述。 因此，只有一个变量是独立的，状态变量只能选其中一个，即用其中的任意一个变量作为状态变量便可以确定该电路的行为。实际上，三个串并联的电容可以等效为一个电容。 对图（b），x1 = x2，因此两者相关，电路只有两个变量是独立的，即（x1和x3）或(x2和x3)，可以任用其中一组变量如（x2，x3）作为状态变量。 例2.3、力学系统状态空间表达式的列写示例 机械运动系统如下图所示， M为物体的质量，K为弹簧系数，B为阻尼器的阻尼系数，f为外加的力，y为受力后物体的位移，v为物体的运动速度。 试以外力f为输入、位移y为输出，写出该机械系统的状态空间表达式。 可得状态空间表达式为： 例2.4、倒立摆装置 长度为l ，质量为m的单倒立摆，用铰链安装在质量为 M的小车上，小车受电机操纵，在水平方向施加控制力 u，相对参考坐标系产生位移x。要求建立该系统的状 态空间表达式。 设小车瞬时位置为 摆心瞬时位置为 在水平方向，由牛顿第二定律 即： 在垂直方向：惯性力矩与重力矩平衡 即: 则有： 联立求解： 选取状态变量： 2.4 由微分方程求状态空间表达式 经典控制论：输入、输出变量间的高阶微分方程描 述系统 现代控制论：输入、状态、输出变量间的一阶微分 方程组描述系统 提出问题：需选取合适的状态变量，推导出状态空 间表达式，保持原输入输出关系不变。 2.4 由微分方程求状态空间表达式 1）输入变量没有导数项的情形 SISO线性定常连续系统微分方程的一般形式为 第一步：选择状态变量，n阶系统，一般选择n个状态变量 令 第二步：求一次导数，并代入原微分方程，有 第三步：将方程组表示为向量-矩阵形式 例2.5 已知系统的输入输出微分方程为 试列写其状态空间表达式。 解：取状态变量 2）系统输入量中含有导数项的情形 SISO线性定常连续系统的微分方程一般形式为： 一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数n。 为避免在状态方程中出现u的导数项，可选择如下一 组状态变量。 设 ，选取： 即： 得到 将求出的 代入上式， 可得： 即可解得： 令上式中u的系数为 ，则： 最后可得系统的状态方程： 可写成向量-矩阵的形式： 即： 状态变量结构图 例2.6 已知系统的输入输出微分方程为 直接写出状态空间表达式 因为 若bn=0，则有 如前面例2.6 已知系统的输入输出微分方程为