近世代数课件多项式环的分解.PPT

* §5 .多项式环的因子分解 5.1 基本结论 5.2 引理 5.3 结论的证明 5.1 基本结论 我们将要得到的结果是：一个唯一分解环 上的多元多 项式环 本身也是唯一分解环。 5.2引理 把一个素多项式叫做不可约多项式，把一个有真因子的多项式叫做可约多项式。 定义 的一个元 叫做一个本原多项式，假如 的系数的最大公因子是单位。 引理 1 假定 。那么 是本原多项式，当 而且只当 和 都是本原多项式的时候。 证明 若是 是本原多项式，显然 和 也都是本原多项 式。 现在假定 是两个本原多项式。 如果 不是本原多项式，那么 有一个最大公因子d，d不是 的单位。由于（B）， ，因而 。这样，由于 是唯一分解环，有一个 的素元 可以整除d，因而可以整除每一个 。这个 不能整除所有的 ，也不能整除所有的 ，不然 和 不会是本原多项式。假定 和 各是 和 的头一个不能被 整数的系数。 是系数 可以写成以下形式 在这个式子里除了 以外，每项都能被 整除，所以 也能被 整除，因而由于 是唯一分解环， 或 能被 整除，与这两个元的取发相反。这样 必须是本原多项式。证完。 现在我们用 的商域Q来做Q上的一元多项式环 ，那么 包含 。我们知道 是唯一分解环，我们要由这一件事实来证明 也是唯一分解环。 引理 2 的每一个不等于零的多项式 都可以写成 的样子，这里 是 的本元多项式。若是 也有 的性质，那么 证明 Q的元都可以写成 的样子，因此 叫 ，那么 叫 b 是 的一个最大公因子，那么 ， 是本原多项式（Ⅳ，2习题2） 假定另一方面 ， 是 的本原多项式，那么 是 的一个多项式。由于 和 都是本原多项式，bc和ad一定同是 的系数的最大公因子（Ⅳ，2，习题2），因而 这样 证完 引理3 的一个本元多项式 在 里可约的充 分而且必要条件： 在 里可约。 证明 假定 在 里可约。这时，因为 显然也是 的本原多项式，由（C）。 和 都属于 ，并且它们的次数都大于零。 由引理2， ， 和 都是 的本原多项式。由引理1， 还是本原多项式；由引理2， 因此 ，但 和 的次数各等于 的次数，因而都大于零： ；由（A）， 和