2019版高考数学（文）优选（全国通用版）讲义：第20讲三角恒等变换+Word版含答案.docx

第20讲　三角恒等变换考纲要求考情分析命题趋势1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).2017·全国卷Ⅱ，132017·山东卷，72016·全国卷Ⅰ，142016·全国卷Ⅲ，62016·浙江卷，11三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值．可单独考查，也可与三角函数的知识综合考查.分值：5～12分1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝__sin_αcos_β±cos_αsin_β__.cos(α±β)＝__cos_αcos_β?sin_αsin_β__.tan(α±β)＝____.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝__2sin_αcos_α__.cos 2α＝__cos2α－sin2α__＝__2cos2α－1__＝__1－2sin2α__.tan 2α＝____.3．有关公式的逆用、变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan αtan β)．(2)cos2α＝____，sin2α＝____.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝sin.(4)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，asin α＋bcos α＝cos(α－φ).1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　√　)(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(　√　)(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．(　×　)(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.(　√　)解析　(1)正确．对于任意的实数α，β，两角和与差的正弦、余弦公式都成立．(2)正确．取β＝0，因为sin0＝0，所以sin(α＋0)＝sinα＝sinα＋sin0.(3)错误．变形可以，但不是对任意角α，β都成立．α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z.(4)正确．当α＝kπ(k∈Z)时，tan2α＝2tanα.2．已知cosx＝，则cos2x＝(　D　)A．－　　B．　　　　C．－　　D．解析　∵cosx＝，∴cos2x＝2cos2x－1＝.故选D．3．sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是(　C　)A．　　B．　　C．－　　D．－解析　sin34°sin26°－cos34°cos26°＝－(cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°)＝－cos(34°＋26°)＝－cos 60°＝－.4．设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是____.解析　∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－.又α∈，∴sin α＝，tan α＝－，∴tan 2α＝＝＝.5．tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝____.解析　∵tan(20°＋40°)＝，∴－tan20°tan40°＝tan20°＋tan40°，即tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝.一　三角函数的化简与求值三角函数式化简与求值的常用方法(1)善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．(2)统一三角函数名称，利用诱导公式、切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一．(3)分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等．【例1】(1)化简：(0θπ)；(2)求值：sin50°(1＋tan10°)．解析　(1)由θ∈(0，π)，得0，∴cos0，∴＝＝2cos.又(1＋sinθ＋cosθ)＝＝2cos＝－2coscosθ.故原式＝＝－cosθ.(2)sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°)＝sin 50°·＝sin 50°·＝＝＝＝1.二　三角函数的条件求值解三角函数求值问题的一般步骤(1)给值求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察已知条件与所求式子之间的联系(从函数名称及角入手)；③将已知条件代入所求式子，化简求值．(2)给值求角问题的一般步骤①先求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．【例2】(1)已知α，β为锐角，cosα＝，sin(α＋β)＝