湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题.docx
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湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（????）
A． B． C． D．
2．若复数（是虚数单位），则z的虚部是（????）
A． B．3 C． D．
3．某圆锥母线长为，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）
A． B． C． D．
4．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（????）
A．257 B．336 C．343 D．384
5．小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（????）
A． B． C． D．
6．设，则=（????）
A． B． C． D．
7．已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的表面积为（???）
A． B． C． D．
8．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（????）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（????）
A．
B．二项式系数之和为64
C．展开式中的常数项为15
D．将展开式中的各项重新随机排列，有理项相邻的概率为
10．已知双曲线，则下列说法正确的是（????）
A．双曲线与双曲线C有相同的渐近线
B．双曲线的离心率等于实轴长
C．直线被双曲线C截得的弦长为
D．直线与双曲线的公共点个数只可能是0，2
11．设数列满足，记数列的前项和为，则（????）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知向量，，且，则．
13．双曲线的焦点到渐近线的距离为5，则该双曲线的渐近线方程为.
14．函数的定义域为，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为．
四、解答题
15．已知为数列的前项和，且，数列满足．
（1）求，
（2）若，求数列的前项和．
16．如图，四边形ABCD中，．
??
(1)若AB＝3，，求△ABC的面积；
(2)若，，，记∠BAC为θ，求θ的值．
17．如图．在三棱锥中，，.
(1)求证：；
(2)若是边长为3的等边三角形．，D是边上的一点且．求直线与平面所成线面角的正弦值.
18．已知函数，若，其中为偶函数，为奇函数.
(1)当时，求出函数的表达式并讨论函数的单调性；
(2)设是的导数.当，时，记函数的最大值为，函数的最大值为.求证：.
19．椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C.如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系.
??
(1)求椭圆C的方程；
(2)设是椭圆C的左、右顶点，点P为直线上的动点，直线分别交椭圆于Q，R两点，求四边形面积的最大值.
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《湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
C
C
A
D
D
BC
BCD
题号
11
答案
ABD
1．B
【分析】首先根据指数函数的性质求出集合，再根据并集的定义计算可得；
【详解】解：因为，，
所以；
故选：B
2．B
【分析】利用复数的乘法运算计算作答.
【详解】，所以z的虚部是3.
故选：B
3．A
【分析】求出圆锥的高，设过圆锥顶点的截面为，设，表示的面积，再运用基本不等式求最值即可．
【详解】设圆锥顶点为，底面直径为，圆心，另有一任意弦，为的中点，连接、、，
如图，设为过圆锥顶点的截面，
因为底面，，
因为，为的中点，所以，
由题意可知：，，
设，，则，，
所以，
，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为．
故选：A．
4．C
【分析