图论演示课件——平面图的判定与涉和平面性的不变量.ppt

* * 图论及其应用 应用数学学院 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 本次课主要内容 (一)、平面图的判定 (二)、涉及平面性的不变量 平面图的判定与涉及平面性的不变量 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 这次课要解决的问题是：给出判定一个图是否是可平面图的充分必要条件。 (一)、平面图的判定 在本章第一次课中，我们已经明确：对于3阶以上的具有m条边的图G来说，如果G满足如下条件之一： (1)m3n-6; (2) K5是G的一个子图；(3) K3,3是G的一个子图，那么，G是非可平面图。 但上面的条件仅为G是非可平面图的充分条件。 最早给出图的平面性判定充要条件的是波兰数学家库拉托斯基(30年代给出)。后来，美国数学家惠特尼，加拿大数学家托特，我国数学家吴文俊等都给出了不同的充要条件。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 所以，我们称K5与K3,3为库拉托斯基图。 我们主要介绍波兰数学家库拉托斯基的结果。 库拉托斯基定理主要基于K5和K3,3是非可平面图这一事实而提出的平面性判定方法。 一个自然的猜测是：G是可平面图的充分必要条件是G不含子图K5和K3,3。 上面命题必要性显然成立！但充分性能成立吗？ 十分遗憾！下面例子给出了回答：NO! 下面的图G是一个点数为5，边数为9的极大平面图。考虑 F=G×K3 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 注：F由G的3个拷贝组成，分别是G1,G2,G3。三个拷贝中的边没有画出。图中虚线不是对应的Gi中边。 G u5 u4 u3 u2 u1 v5 v4 v3 v2 v1 w5 w4 w3 w2 w1 G3 G2 G1 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 可以证明：F中不含K5和K3,3，且F是非可平面图。 尽管我们的直觉猜测错了，但库拉托斯基还是基于K5与K3,3得到了图的平面性判据。 1、相关概念 定义1 在图G的边上插入一个2度顶点，使一条边分成两条边，称将图在2度顶点内扩充；去掉一个图的2度顶点，使关联它们的两条边合并成一条边，称将图G在2度顶点内收缩。 在2度顶点内收缩 在2度顶点内扩充 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定义2 两个图G1与G2说是同胚的，如果 ，或者通过反复在2度顶点内扩充和收缩后能够变成一对同构的图。 G3 G2 G1 上面的G1, G2, G3 是同胚的。 注：图的平面性在同胚意义下不变。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理1 (库拉托斯基定理) 图G是可平面的，当且仅当它不含K5或K3,3同胚的子图。 例1 求证：下面两图均是非平面图。 图 G1 图 G2 证明：对于G1来说