高等数学A测验考试题.doc

高等数学A-2 （08级） 一、单项选择题(本大题共5小题, 每小题3分, 总计15分)（） 1、设=（ ） 2、设区域则积分在极坐标下的累次积分为（　　　） 3、设为球面,则对面积的曲面积分 =（　　　） 234 4、设级数收敛，则下列级数必收敛的为（ ） 5、设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解，是任意常数, 则该非齐次线性方程的通解是（ ） 二、填空题(本大题共5小题, 每小题3分，总计15分) 1、曲面在点处的切平面方程为__________________________。 2、设，由二重积分的几何意义知=____________。 3、设椭圆的周长为，则曲线积分=_________。 4、当______________________时，级数条件收敛。 5、若某三阶常系数线性齐次微分方程有解为，，；则该三阶常系数线性齐次微分方程为__________________________________。 三、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分,每题要有必要的解题步骤) 1、设数量场 求：(1)函数在点处的梯度。(2)函数在点处方向导数的最大值。 2、计算二次积分。 3、求微分方程的通解。 4、计算积分，其中L是从点沿曲线到点的弧段。 四、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分,每题要有必要的解题步骤) 1、设，其中函数具有二阶连续的偏导数，试求，。 2、计算曲面积分， 其中为曲面，取下侧。 3、求幂级数的收敛域及和函数，并求数项级数的和。 4、设是周期为的周期函数，且 ()，试将展开成傅立叶级数。 五、解答题(本题8分) 已知曲线过点，曲线上任一点处的切线交轴于点，以为直径所作的圆均过点，求此曲线的方程。 六、证明题(本题6分) 已知正项级数收敛，证明数列收敛。 08级解答 一、单项选择题(本大题共5小题, 每小题3分, 总计15分) 1、 2 、 3、 4、 5、 二、填空题 (本大题共5小题, 每小题3分，总计15分) 1 、 2、 3、 4、 5、 三、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分,每题要有必要的解题步骤) 1、设数量场 求：(1)函数在点处的梯度。(2)函数在点处方向导数的最大值。 解：(1)；………4分 (2)，故在点处方向导数的最大值为。………7分 2、计算二次积分。 解：=………4分 ==………7分 3、求微分方程的通解。 特征方程,对应齐次方程的通解为 （其中为任意常数）………4分 因是特征根，设特解为，其中A为待定常数，代入原方程，得………6分 从而得通解………7分 4、计算积分，其中L是从点沿曲线到点的弧段。 解：这里，。 由于，可见不成立。 ………2分 记，则。 则曲线积分满足与路径无关的条件，选择与L起终点相同的直线段，有 ，而………6分 故所求积分。 ………7分 四、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分,每题要有必要的解题步骤) 1、设，其中函数具有二阶连续的偏导数，试求，。 解： ………3分 ………7分 2、计算曲面积分 其中为曲面，取下侧。 解：取平面，取上侧．则与构成封闭曲面，取外侧．令与所围空间区域为，由Gauss公式，得 ………2分 ………7分 3、求幂级数的收敛域及和函数，并数项级数的和。 解：,,时原级数为收敛，故此幂级数的收敛域为。 ………2分 设，,则 ………5分 故………7分 4、设是周期为的周期函数，且 ()，试将展开成傅立叶级数。 解：所给函数满足收敛定理的条件，它在点处不连续，因此，的傅立叶级数收敛于，在连续点收敛于。………2分 若不计，则是周期为的奇函数。………3分 ………5分 故 ………7分 五、解答题(本题8分) 已知曲线过点，曲线上任一点处的切线交轴于点，以为直径所作的圆均过点，求此曲线的方程。 解：过点的切线方程 ，令，即………2分 由题意， 得，化简 ，即（Bernoulli方程）………4分 令，得，其通解为 故原方程通解为，又，得。 所以该曲线的方程为。 ………8分 六、证明题(本题6分) 已知正项级数收敛，证明数列收敛。 证明：记 因正项级数收敛，故，又，由正项级数比较审敛法的极限形式知级数也收敛并记其和为………4分 即，于是， 故数列收敛。………6分 高等数学A-2（09级） 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题共4小题, 每小题3分, 总计12分