具有Ventcel边界条件的波动方程解的长时间行为.pdf

2015年 5月 四川大学学报 (自然科学版) M ay． 2015 第52卷 第 3期 JournalofSichuanUniversity(NaturalScienceEdition) Vo1．52 No．3 doi：103969／j．issn．0490-6756．2015．03．008 言目 具有 Ventcel边界条件的波动方程解 的长时间行为 肖 瑶 (四川大学数学学院，成都 610064) 摘 要：本文对具有 Ventcel边界条件和 内部 阻尼的波动方程解的长时间行为进行 了研究． 为此，本文首先建立了一类具有 Ventcel边界条件的插值不等式 ；然后 由插值不等式出发得 到 了波动方程的预解式估计 ；最后根据预解式估计得 出了方程解的对数衰减结果． 关键词 ：对数稳定性 ；波动方程 ；插值不等式 中图分类号 ：O231．4 文献标识码 ：A 文章编号 ：0490—6756(2015)03—0494—05 LongtimebehaviorofthewaveequationswithVentcelSboundaryconditions XIAo 0 (CollegeofMathematics，SichuanUniversity，Chengdu，610064，China) Abstract：Thispaperisdevoted tostudy thelongtimebehaviorofthesolutionsto thewaveequations withboundaryconditions，withanarbitrarysmallinternaldamping．Forthispurpose，wefirstestablish aninterpolationinequalitywithVentcelSboundaryconditions．Thenweobtaintheresolventestimateof thewaveequationfrom theinterpolationinequality．Finally，theresolventestimateofthewaveequation yieldsthelogarithmicdecayresults． Keywords：Logarithmicstability；W aveequations；Interpolationinequality (2000MSC 93C20。35B37) ： 0，on ×rn (4) 1 引 U(0)： 。， (0)= “ ，inQ (5) 设 Qc (，z∈N)是一个具有光滑边界 r— 其 中△rf和 一 ( ，v… ．，)分别表示在 r上的 r。Ur 的连通区域 ，并且在 r。和 r 上都有正的 切 向拉普拉斯算子和区域 Q中的边界 r上的单位 测度．然后固定一个非负的函数 a(·)∈ (Q) 外法线方向． 它满足下面的条件 ： 上述式 (3)～ (5)的初边值条件最早是在 1959 a(z)三三=口o 0，inccJ (1) 年由Ventcel作为一个二阶椭 圆型方程 中允许 的 其中 和a。分别是 Q中的一个非空开子集和一个 最普遍边界条件类型来研究的Ⅲ．对具有这类边界 给定的常数． 条件的方程 ，现在已有 了一