6 电磁场的势-达朗伯方程-推迟势.ppt

第八章电磁场势 景建恩 E-mail： jje2008@cugb.edu.cn Office: 教5楼118A 2012年12月 北京 8.1 电磁场的势 8.2 均匀非导电媒质中电磁场势满足的微分方程 达朗伯方程 8.3 达朗伯方程的解 推迟势 8.4 推迟势的偶极展开 8.5 电偶极辐射和磁偶极辐射 8.6 均匀导电媒质中电磁场满足的微分方程 8.7 均匀导电媒质中的赫兹矢量 8.8 谐变电磁场势的赫姆霍兹方程 章节安排 8.1 电磁场的势 1、 亥姆霍兹定理 2、 标矢和矢势 3、 规范变换 1、 亥姆霍兹定理 亥姆霍兹定理：若矢量场 在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和， 即 证明：假设在无限空间中有两个矢量函数 和 ，它们具有相同的散度和旋度。但这两个矢量函数不等，令 要证明矢量场由其散度和旋度唯一确定，即矢量 和矢量 是同一矢量， 应该为零矢量。 因为 和 有相同的散度和旋度 由矢量场论中梯度的散度恒等于零, 令 由在无限空间中拉普拉斯方程解的有限性及 函数的任意性，知 只能是一个常数，即 ， 。 常用的矢量公式 在复杂情况下，解麦克斯韦方程是有困难的。在稳定电磁场的情况下，引入标量势和矢量势可使求解大为简化；对稳定场的势作适当修改，便适用于变化电磁场的普遍情况。 在稳定场情况下，麦克斯韦方程组第二方程和第三方程 稳定电场是有源场，稳定磁场是无源场 2、 标矢和矢势 标量场的梯度必为无旋场；矢量场的旋度必为无散场 稳定电场是无旋场，稳定磁场是无散场 稳定电场 稳定磁场 标势 矢势 描述 描述 定义： 2、 标矢和矢势 普遍成立。 但电场E的旋度不再为零，此时电场一部分是由电荷激发的，另一部分是由变化磁场激发的，而变化磁场激发的电场是有旋的。因此，在普遍情况下，电场是有旋和有源场，不能用一个单一的标势来描述。由于磁场的激发关系，电场的表示式中必然包含描述磁场的矢势A。 在变化电磁场的情况下，磁场仍保持无源性， 将 代入麦克斯韦第二方程式 得 矢量 则可以表示为某个标量函数的梯度，即 这里仍用U来表示标量函数，并且右边采用负号以使A与时间无关时仍回到静电势。 的旋度为零， 式(8.1-1)、(8.1-2)说明需用四个势函数 才能完全描述电磁 场。应当注意，在变化电磁场中，电场和磁场是相互作用着的整体，即必须把标势和矢势作为一个整体来描述电磁场。 3、 规范变换 由(8.1-1)式和(8.1-2)式可知，E、B和A、U是微分方程的关系，这种关系不是一一对应的，即如果已知电场强度E和磁场强度B，则确定出来的标势U和矢势A并不是唯一的。现在讨论场的势可以确定到什么程度。 如果对A、U作如下的变换 (8.1-3) 式中，φ是任意标量函数。将此变换分别代入(8.1-1)式和(8.1-2)式，得 即通过变化(8.1-3)式引入的一组势(A,U)和原来的一组势(A,U)描述同一个电磁场；换言之，对于同一个电磁场E和B，它的势(A,U)的选择并不是唯一的，通过变换(8.1-3)式可以找到许多组(A,U)来对应同一个电磁场。(8.1-3)式称为势的规范变换，每一组(A,U)称为一种规范。 由于表示电磁场客观属性的可测物理量是E和B，而不同规范又对应着同一的E和B。因此，如果用势来描述电磁场，其所涉及的电磁现象的物理规律都应当在规范变换下保持不变，这种不变性称为规范不变性。从式(8.1-3)可知，矢势仅仅确定到一任意标量函数的梯度；标势仅仅确定到同一任意标量函数的时间导数。由于规范不变性，才有可能在一定的附加条件下挑选所需要的一组势来简化问题的计算。这些附加条件通常是势之间的关系，称为规范条件。 不同情况可以选择不同的规范条件。如，在稳定场中，曾经选择称为库仑规范条件的 而使势的方程简化；在变化电磁场中，将会看到选择 称为洛伦兹规范条件的 可以使势的方程简化。 8.2 均匀非导电媒质中电磁场势满足的微分方程 达朗伯方程 1、 洛伦兹规范条件 2、 电磁场势的波动方程—达朗伯方程 下面利用规范变换来求矢势A和标势U在均匀非导电媒质中(即λ=0，ε=常数，μ=常数)所满足的方程。 将(8.1-2