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课时12．反比例函数的图象与性质 【考点解析】 函数性质 一般地，函数y＝或y＝kx－1(k是常数，k≠0)叫做反比例函数． 1．反比例函数y＝中的是一个分式，所以自变量x≠0，函数与x轴、y轴无交点． 2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k. 1．反比例函数y＝(k≠0)的图象是双曲线 因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但永不与x轴、y轴相交． 2．反比例函数的图象和性质 反比例函数y＝(k≠0)的图象总是关于原点对称的，它的位置和性质受k的符号的影响． (1)k＞0图象(双曲线)的两个分支分别在一、三象限，如图①所示．图象自左向右是下降的当x＜0或x＞0时，y随x的增大而减小(或y随x的减小而增大)． (2)k＜0图象(双曲线)的两个分支分别在二、四象限，如图②所示．图象自左向右是上升的当x＜0或x＞0时，y随x的增大而增大(或y随x的减小而减小)． 解析式的确定 由于反比例函数的关系式中只有一个未知数，因此只需已知一组对应值就可以． 待定系数法求解析式的步骤： ①设出含有待定系数的函数解析式； ②把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程； ③解方程求出待定系数． 比例系数K的几何意义 反比例函数y＝(k≠0)中k的几何意义：双曲线y＝(k≠0)上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形面积为|k|. 理由：如图①和②，过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PA、PB所得的矩形PAOB的面积S＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|；∵y＝，∴xy＝k，∴S＝|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积均为|k|，同理可得S△OPA＝S△AOB＝|xy|＝|k|. 反比例函数的实际问题 解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围． (1)(2010·桂林)若反比例函数y＝的图象经过点(－3,2)，则k的值为(　　) A．－6　　　B．6　　　C．－5　　　D．5 (2)(2010·宁波)已知反比例函数y＝，下列结论不正确的是(　　) A．图象经过点(1,1)B．图象在第一、三象限 C．当x1时，0y1D．当x0时，y随着x的增大而增大 (3)(2010·兰州)已知点(－1，y1)、(2，y2)、(3，y3)在反比例函数y＝的图象上．下列结论中正确的是(　　) A．y1y2y3 B．y1y3y2C．y3y1y2 D．y2y3y1 (4)(2010·眉山)如图，已知双曲线y＝(k0)经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C.若点A的坐标为(－6,4)，则△AOC的面积为(　　)A．12 B．9 C．6 D．4 题目2图 (1)(2010·天津)已知反比例函数y＝(k为常数，k≠1)． ①若点A(1,2)在这个函数的图象上，求k的值； ②若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围； ③若k＝13，试判断点B(3,4)，C(2,5)是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【解答】(1)①∵点A(1,2)在这个函数的图象上，∴2＝k－1，解得k＝3.②∵在函数y＝图象的每一支上，y随x的增大而减小，∴k－10.解得k1. ③由k＝13得k－1＝12.∴反比例函数的解析式为y＝. 将点B(3,4)代入y＝，可知点B的坐标满足函数关系式，∴点B在函数y＝的图象上． 将点C(2,5)代入y＝，由5≠，可知点C的坐标不满足函数关系式，∴点C不在函数y＝的图象上． (2)(2010·成都)如图，已知反比例函数y＝与一次函数y＝x＋b的图象在第一象限相交于点A(1，－k＋4)． ①试确定这两个函数的表达式； ②求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围． (2)解：①∵已知反比例函数y＝经过点A(1，－k＋4)，∴－k＋4＝，即－k＋4＝k. ∴k＝2，∴A(1,2)．∵一次函数y＝x＋b的图象经过点A(1,2)，∴2＝1＋b，∴b＝1. ∴反比例函数的表达式为y＝，一次函数的表达式为y＝x＋1. ②由消去y，得x2＋x－2＝0.即(x＋2)(x－1)＝0.∴x＝－2或x＝1. ∴或∵点B在第三象限，∴点B的坐标为(－2，－1)． 由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围是x－2或0x1.．(15分)(2010·义乌)如图，一次函数y＝kx＋2的图象与反比例函数y＝的图象交于点P，点P在第一象限．PA垂直x轴于点A，PB垂直y轴于点B，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD＝4，＝.