高考数学一轮复习：第10章 计数原理、概率、随机变量 第6讲(理).doc

第十章　第六讲 A组　基础巩固 一、选择题 1．在[－2,3]上随机取一个数x，则(x＋1)(x－3)≤0的概率为 (　　) A. B． C. D． [答案]　D [解析]　由(x＋1)(x－3)≤0，得－1≤x≤3.由几何概型得所求概率为. 2．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为 (　　) A. B． C. D． [答案]　A [解析]　面积为36 cm2时，边长AM＝6 cm； 面积为81 cm2时，边长AM＝9 cm. ∴P＝＝＝. 3．若在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是 (　　) A. B． C. D． [答案]　C [解析]　如图，在AB边上取点P′，使＝，则P只能在AP′上(为包括P′点)运动，则所求概率为＝. 4．一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜峰在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为 (　　) A. B． C. D． [答案]　C [解析]　由已知条件可知，蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝＝. 5．由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为 (　　) A.　 B． C．　 D． [答案]　D [解析]　由题意作图，如图所示，Ω1的面积为×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－××＝，则所求的概率P＝＝，选D. 6．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 (　　) A．1－ B．－ C. D． [答案]　A [解析]　设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC. 不妨令OA＝OB＝2， 则OD＝DA＝DC＝1. 则以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1＝＋×1×1－(－×1×1)＝1， 所以整体图形中空白部分面积S2＝2. 又因为S扇形OAB＝×π×22＝π， 所以阴影部分面积为S3＝π－2. 所以P＝＝1－. 二、填空题 7．在区间(0,1)内随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是________. [答案]　 [解析]　设随机取出的两个数分别为x，y，则0＜x＜1,0＜y＜1，依题意有x＋y＜，由几何概型知，所求概率为P＝＝. 8．已知线段AC＝16 cm，先截取AB＝4 cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm3的概率为________. [答案]　 [解析]　依题意，设长方体的长为x cm，则相应的宽为(12－x)cm，由4x(12－x)＞128得x2－12x＋32＜0,4＜x＜8，因此所求的概率等于＝. 9．记集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}和集合B＝{(x，y)|x＋y－2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2的概率为________. [答案]　 [解析]　作圆O：x2＋y2＝4，区域Ω1就是圆O内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△AOB内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为＝. 10．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是________. 图1　　　　　　　　图2　　　　 [答案]　3 [解析]　设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3. 三、解答题 11．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是. (1)求n的值； (2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b. (ⅰ)记“a＋b＝2”为事件A，求事件A的概率； (ⅱ)在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率． [答案]　(1)2　(2)(ⅰ)，(ⅱ)1－ [解析]　(1)依题意＝，得n＝2. (2)(ⅰ)记标号为0的小球为s，标号为1的小球为t，标号为2的小球为k，h，则取出2个小球的可能情况有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)