数值分析上机实验报告20111023.doc
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实验报告 yyhhit@163.com
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实验报告一
题目： 非线性方程求解
摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。
前言：（目的和意义）
掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。
数学原理：
对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。
对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。
Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式
产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为
其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。
程序设计：
本实验采用Matlab的M文件编写。其function的程序如下所示：
function rtn=bisection(fx,xa,xb,n,delta)
% 二分法解方程
% fx是由方程转化的关于x的函数，有fx=0。
% xa 解区间上限
% xb 解区间下限
%解区间人为判断输入
% n 最多循环步数，防止死循环。
%delta 为允许误差
x=xa;fa=eval(fx);
x=xb;fb=eval(fx);
disp( [ n xa xb xc fc ]);
for i=1:n
xc=(xa+xb)/2;x=xc;fc=eval(fx);
X=[i,xa,xb,xc,fc];
disp(X),
if fc*fa0
xb=xc;
else xa=xc;
end
if (xb-xa)delta,break,end
end
将以上程序保存为bisection.m文件，存在matlab根目录下。
然后在matlab command window中输入format long，更改有效数字长度，再分别输入对应要求的函数：
1、f=sin(x)-x^2/2;
bisection(f,1,2,20,0.5*10^(-5))
最后得到所有运行结果，选取满足误差要求的结果为第18次迭代，
n=18.00000000000000，xa=1.40441131591797， xb=1.40441894531250，xc= 1.40441513061523 ，fc=-0.00000037972051
2、f=x^3-x-1;
bisection(f,1,1.5,20,0.5*10^(-5))
最后得到所有运行结果，选取满足误差要求的结果为第17次迭代，
n=17.00000000000000， xa=1.32471466064453， xb=1.32472229003906 xc=1.32471847534180， fc=0.00000220949485
Newton法及改进的Newton法源程序：
clear
%%%% 输入函数
f=input(请输入需要求解函数,s)
%%%求解f(x)的导数
df=diff(f);
%%%改进常数或重根数
miu=2;
%%%初始值x0
x0=input(input initial value x0);
k=0;%迭代次数
max=100;%最大迭代次数
R=eval(subs(f,x0,x));%求解f(x0)，以确定初值x0时否就是解
while (abs(R)1e-8)
x1=x0-miu*eval(subs(f,x0,x))/eval(subs(df,x0,x));
R=x1-x0;
x0=x1;
k=k+1;
if (eval(subs(f,x0,x))1e-10);
break
end
if kmax;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值
ss=input(maybe result is error,choose a new
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