计算方法引论课后答案doc.docx

第一章误差

1.试举例，说明什么是模型误差，什么是方法误差.

解：例如，把地球近似看为一个标准球体，利用公式A=4πr2计算其表面积，这个近似看为球体的过程产生

的误差即为模型误差.

在计算过程中，要用到π,我们利用无穷乘积公式计算π的值：

其中

我们取前9项的乘积作为π的近似值，得

π≈3.141587725…

这个去掉π的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差，也成为截断误差.

2.按照四舍五入的原则，将下列各数舍成五位有效数字：

816.95676.00001517.322501.23565193.182130解：816.966.000017.3231.235793.1820.015236

3.下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字?

81.8970.008136.320050.1800

解：五位三位六位四位

4.若1/4用0.25表示，问有多少位有效数字?

解：两位

5.若a=1.1062,b=0.947,是经过舍入后得到的近似值，问：a+b,a×b各有几位有效数字?

又a+b=0.20532×10,

所以a+b有三位有效数字；

因为a×b=010

所以a×b有三位有效数字.

6.设y?=0.9863,y?=0.0062,是经过舍入后作为x?,x?的近似值.求的计算值与真

值的相对误差限及yy·y?与真值的相对误差限.

dr(x?·x?)=dr(x?)+dr(xz)≈0.50×10?+0.81×102≈0.82×102

7.正方形的边长约为100cm,应该怎样测量，才能使其面积的误差不超过1cm2.

解：设正方形面积为S,边长为a,则S=a2.所以要使：ds=da2=2ada≤1,则要求

,所以边长的误差不能超过0.5×102cm

8.用观测恒星的方法求得某地维度为45°02”(读到秒),试问：计算sinφ将有多大误差?

解：

9.真空中自由落体运动距离s与时间的关系由公式确定，g是重力加速度.现在假

设g是准确的，而对t的测量有±0.1s的误差，证明t增加时，距离的绝对误差增加而相对误差却减小.

证明：因为：ds与t成正比，t成反比，

;

所以当dt固定的时候，t增加时，距离的绝对误差增加而相对误差却减小.

10.设x0,x的相对误差为δ,求lnx的绝对误差.

解：已知.所以lnx的绝对误差)

11.设x的相对误差为α%,求x”的相对误差.

解：

12.计算球的体积，为了使相对误差限为1%,问度量半径R时允许的相对误差限如何?

解：1没则要效得

解：1

没

第二章插值法与数值微分

1.设y=√x,在x=100,121,144三处的值是很容易求得的，试以这三个点建立y=√x的

二次插值多项式，并用此多项式计算√115的近似值，且给出误差估计.用其中的任意两点，构

造线性插值函数，用得到的三个线性插值函数，计算√115的近似值，并分析其结果不同的原

因.

解：已知x?=100,x?=121,x?=144;y?=10,y?=11,y?=12,

建立二次Lagrange插值函数可得：

所以√115≈L?(115)=10.7228.

误差

0.0006555R?(√115)0.001631

利用前两个节点建立线性插值函数可得：

所以√115≈L(115)=10.7143.

利用后两个节点建立线性插值可得：

所以√115≈L(115)=10.7391.

利用前后两个节点建立线性插值可得：

所以√115≈L(115)=10.6818.

与√115的真实值比较，二次插值比线性插值效果好，利用前两个节点的线性插值比其他两个线性插值

效果好.此说明，二次插值比线性插值效果好，内插比外插效果好.

2.利用(2.9)式证明

证明：由(2.9)式

当x?xx?

所以

时，

3.若x,(0,1,…,n)为互异节点，且有

证明

证明：由于

都为k次多项式，而且在k+1个不同的节点处的函数值都相同k=0,1,…,n,所以马上有

4.设给出sinx在[-π,π]上的数值表，用二次插值进行计算，若希望截断误差小于10?,问函

数表的步长最大能取多少?

解：记插值函数为p(x),则

所以

-cos(5)|≤1;令g(x)=(x-x)(x-x;)(x-x),设x=x+th,得