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课程作业 课程名称：科学计算选讲 姓名：张超 学号：1012208026 学院：材料科学与工程学院 专业：材料学 光子晶体的能带结构求解与可视化 天津大学材料学院 张超 1012208026 问题背景与数学模型： 光子晶体是由介电常数周期排列形成的一种合成材料，是非均匀介质中少数 可以严格遵循电磁理论的新型人工材料。在一定的晶格常数和介电常数条件下， 布拉格散射使在光子晶体中传播的电磁波受到调制形成类似于电子的能带结构。 具体的说，首先，理想二维光子晶体的结构是如下结构：假设介电常数为 ， a 半径为 的介质柱平行于 轴，背景介质的介电常数为 ，在  平面内的晶格 r z b x ,y 常数为 ， 为相邻基矢 和 之间的锐角，当  和  时，分别为正 a  a a  90  60 1 2 方形晶格和正三角形晶格。 平面的傅里叶变换空间为倒易空间(如图 1 所 x ,y 示)，对应于由波矢k 定义的频谱。 图1 菱形晶格光子晶体倒易空间示意图 根据正格矢与倒格矢量的关系， 平面的基矢 和倒易空间的基矢 x ,y a ,a 1 2      b ,b 分别为 a ae ，a a(cose sine ) ；b (2/ a)(e ctge ) ； 1 2 1 x 2 x y 1 x y  b 2e / a sin e e 2 y 。其中 ， 为正空间的平面单位矢量。 x y 在倒易空间中，G、T、N 、X 和M 等点为布里渊区的高对称点(图1)，它们 所构成的多边形区域(深灰色部分)称为不可约布里渊区。不可约布里渊区是倒易 空间中最小的、可重复的区域，可以映射出电磁波在整个光子晶体中的传输特性。 对称点坐标分别为： G (0,0) ；   ； T (/ a)(1, 1cos / sin)   ； N / a (1(1cos)ctg/ sin,1/ sin) X (/ a)(0,1/ sin) ；   。 M (/ a)( 1cos ctg/ sin1,1/ sin) 其次，平面波的指数形式，可以如下表示： H (r,t) H (r)eit E (r,t) E (r)eit 联立无源Maxwell 方程组，分别得到电场与磁场的传播方程： 2 ((1/ (