3.1.2椭圆的标准方程及性质的应用（分层作业）（解析版）-高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）.docx
3.1.2椭圆的标准方程及性质的应用（分层作业）
（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
题型1点与椭圆的位置关系
1.过点(－3，2)且与有相同焦点的椭圆方程是（?????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先得焦点坐标，设方程为，将点代入解出的值，进而可得结果.
【详解】因为焦点坐标为，设方程为，
将代入方程可得，解得，故方程为，
故选：A.
2.关于椭圆：，下列叙述正确的是（????）
A．焦点在轴上 B．长轴长为4 C．离心率为 D．过点
【答案】BC
【分析】根据椭圆的标准方程，可判断A项；求出a，b，c的值，可判断B，C项；代入判断D项.
【详解】由已知，椭圆的焦点在轴上，a=2，，c=1，则长轴长为2a=4，离心率为.
将点代入椭圆方程左边得，不满足，即点不在椭圆上.
故选：BC.
3.设分别为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意设坐标，根据结合椭圆方程求出，代入离心率公式求解即可.
【详解】设，，，则、，
所以，因为，所以，
由点P在椭圆上可得，则，
解得，所以，
故选：C.
4.已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，若椭圆C上存在一点P，使得△PF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用面积相等，得到由此得到消去整理化简求出离心率的取值范围.
【详解】的面积为因为的内切圆半径为，所以面积可表示为，所以
解得因为所以
两边平方得：又因为
整理得：
因为不等式两边同时除以，得：；
解得：
故选：A
5.．已知圆与圆交点的轨迹为，过平面内的点作轨迹的两条互相垂直的切线，则点的轨迹方程为（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设两圆交点为，根据椭圆的定义求出轨迹的方程，设点，当切线斜率存在且不为时，设切线方程为：，联立直线与椭圆方程，根据且求出，当切线的斜率不存在或为时，求出点坐标，即可得解.
【详解】圆圆心，
圆圆心，
设两圆交点为，则由题意知，，所以，
又由于，所以由椭圆定义知，交点是以、为焦点的椭圆，
且，，则，所以轨迹的方程为，
??
设点，当切线斜率存在且不为时，设切线方程为：，
联立，消得，
则，
即，由于，则由根与系数关系知，即．
??
当切线斜率不存在或为时，点的坐标为，，，，满足方程，
故所求轨迹方程为．
故选：A．
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是由椭圆的定义求出轨迹的方程，再分切线的斜率存在且不为零和不存在或为零两种情况讨论，根据，利用韦达定理及求出方程.
题型2直线与椭圆的位置关系
6.已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且轴，直线交y轴于点P，若，则椭圆的离心率是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用几何关系，得，即可求得椭圆的离心率.
【详解】由条件可知，，即.
故选：B
7.点F为椭圆：的右焦点，直线：与椭圆C交于A，B两点，为坐标原点，为正三角形，则椭圆的离心率为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正三角形，得出点坐标（用表示），代入椭圆方程转化的可得离心率．
【详解】因为为正三角形，，不妨设在第一象限，所以，
在椭圆上，则，，，
因为，故解得．
故选：A．
8.设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使的面积为的点P的个数为（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】求出直线为，与椭圆方程联立求出点A、B的坐标，设点，利用的面积为，可得或与分别联立，判别解得个数，即可选出答案.
【详解】直线关于原点对称的直线为
联立，解得或
则，，所以
又的面积为，所以边上的高为
设，则，点到直线的距离
化简得：或
联立，得，其中，故方程无解；
或，得，其中，方程有两个不同解.
即a有两个不相等的根，对应的b也有两个不等根，所以满足题意的点P的个数为2个.
故选：B
9.直线与椭圆的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e等于（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】连接，求出，，由椭圆的定义列出关于的方程，求出离心率.
【详解】如图所示，连接，由题意得：，由勾股定理得：，由椭圆定义可得：，即，所以.
故选：B
10.椭圆的内接四边形的对角线交于点，满足，，若直线的斜率为，则椭圆的离心率等于（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出点，由已知求出，利用两点在椭圆上，化简计算解出直线的方程，可得直线的斜率，解方程求出离心率．
【详解】设点，，且，
可得，即，解得，
由两点在椭圆上，
有，
得：，
即，
同理可得，
因此，直线的方程为，