《研究生课件 数理统计》1-5.ppt

第一章第五节 事件的独立性 显然 P(A|B)=P(A)。 这就是说：已知事件B发生，并不影响事件A发生的概率，这时称事件A、B独立。 一、两事件的独立性 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}， 先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次， 设 由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B)。 用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性，比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好，它不受P(B)0或P(A)0的制约。 P(AB)=P(B)P(A|B) 若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1) 则称A、B独立，或称A、B相互独立。 两事件独立的定义 在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立。 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立 。 甲、乙两人向同一目标射击，记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？ 例如： (即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率)。 一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品}， i=1,2。 若抽取是有放回的, 则A1与A2独立。 因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响。 又如： 因为第二次抽取的结果 不受第一次抽取的影响。 若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立。 请问：如图的两个事件是独立的吗？ 即: 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0, 则A与B不独立。 反之，若A与B独立，且P(A)0, P(B)0, 则A 、B不互斥。 而P(A) ≠0, P(B) ≠0。 故 A与B不独立。 我们来计算： P(AB)=0, P(AB) ≠ P(A)P(B)。 即 二、多个事件的独立性 将两事件独立的定义推广到三个事件： 对于三个事件A、B、C，若 P(AB)= P(A)P(B)， 四个等式同时 P(AC)= P(A)P(C) , 成立, 则称事件 P(BC)= P(B)P(C) , A、B、C相互 P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 。 独立。 推广到n个事件的独立性定义, 可类似地刺蛾出: 设A1,A2, …,An是 n个事件，如果对任意k ( ), 任意 ，等式 包含等式总数为： 成立，则称n个事件A1,A2, …，An相互独立。 请注意多个事件两两独立与事件两两相互独立的区别与联系 两两独立 相互独立 对n(n2)个事件 ? 对独立事件，许多概率计算可得到简化： 例2: 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解：将三人编号为1，2，3， 三、独立性概念在计算概率中的应用 所求为 P(A1+A2+A3)。 记 Ai={第i个人破译出密码} ， i=1,2,3。 已知 ：P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4。 P(A1+A2+A3) =1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)] 则 n个独立事件和的概率公式: 设事件 相互独立,则 P(A1+…+An) 也相互独立 也就是说: n个独立事件至少有一个发生 的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。 例3：下面是一个串并联电路示意图。 A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件，各自下方的数字表示其正常工作之概率。 求电路正常工作的概率。 * *