【精选】空间向量与立体几何复习教案.doc

授课教案 学员姓名：__________ 授课教师：_ 所授科目：　　　　　　 学员年级：__________ 上课时间：___年__月___日___时___分至___时___分共___小时 教学标题 专题：空间向量法解决立体几何问题 教学目标 熟练掌握：三角函数复习 教学重难点 重点掌握： 考点内容： 上次作业检查 正确数： 正确率： 问题描述： 授课内容： 一 专题提纲 引入两个重要空间向量 直线的方向向量； 2、平面的法向量。 立体几何问题的类型及解法 判断直线、平面间的位置关系 直线与直线的位置关系； 直线与平面的位置关系； (3)平面与平面的位置关系； 求解空间中的角度 线线角 线面角 二面角 二 梳理知识（新课内容） （一）引入两个重要的空间向量 1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是 2.平面的法向量 如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向量n叫做平面α的法向量. 在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢? 如图2,设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n·a = 0且n·b = 0,则n⊥α. 求平面的法向量的坐标的步骤： 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标. 例1：在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量. 解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz（如图）,设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 则 O（1，1，0），A1（0，0，2），D1（0，2，2） 由=（-1，-1，2），=（-1，1，2） 得，解得 取z =1 得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1). （二）立体几何问题的类型及解法 1.判定直线、平面间的位置关系 (1)直线与直线的位置关系 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为 , ①若∥,即=λ,则a∥b. ②若⊥,即· = 0,则a⊥b 例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证: CC1⊥BD 证明：设 ?依题意有 ?于是 直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为,平面的法向量为,且 ?①若∥,即=λ,则 ?②若⊥,即· = 0,则 例3：棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分别是AC,CC1的中点,求证: ?(I)A1E ⊥平面DBC1; ?(II)AB1∥平面DBC1 解：以D为原点，DC为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则 ?A(-1,0,0), B(0,,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2). ?设平面DBC1的法向量为=(x,y,z),则 ?解之得， ?取z = 1得=(-2,0,1) ?(I),从而A1E ⊥平面DBC1 ?(II) ,而，从而AB1∥平面DBC1 (3)平面与平面的位置关系 平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2 ①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β ②若n1⊥n2,即n1·n2= 0,则α⊥β 例4：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证:面ABD1⊥面A1FD 证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A-xyz, 设正方体的棱长为2,则A(0,0,0),B(2,0,0),D1(0,2,2),E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0), ?于是 ?设平面AED的法向量为n1=(x,y,z)得 ?解之得 ?取z=1得n1=(0,-1,1) ?同理可得平面A1FD的法向量为n2=(0,1,1) ?∵n1·n2 =0-1+1=0 ?∴面ABD1⊥面A1FD 求空间中的角 (1)两异面直线的夹角 利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用再把这两条异面直线平移,求出两条异面直线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角就行了. 例5如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.