特殊化与一般化方法在中学数学解题中的应用论文.doc

特殊化与一般化方法在中学数学解题中的应用 买尔哈巴.阿不都沙拉木 （伊犁师范学院数学系 新疆 伊宁市 835000） 摘要：本论文主要讨论了特殊化与一般化方法在中学数学解题中的应用.特殊化与一般化方法是中学数学中讨论的主要方法之一.特殊化与一般化方法可以把复杂的问题化简,把抽象的问题化为具体的问题,这种方法能帮助我们思考和解决问题.利用特殊化与一般化时把复杂的问题也很容易解决. 本论文从这些方面来论述特殊化与一般化方法在中学数学解题中的若干应用,共有3个例题,从中体会特殊化与一般化方法的绮思妙解. 关键词：特殊化方法 一般化方法 中图标识码：O21 文献标识码：A 引言： 数学是中学的一门主要课程,它的目的主要是培养学生的运算能力,逻辑思维能力和空间想象能力,逐步养成和提高学生运用数学知识去分析和解决实际问题的能力.因此,教师在教学中,必须在注重基础知识的同时,强化数学方法的学习与研究.对于一时难以入手的一般问题,可以从特殊数,形的数量关系和位置关系入手,再把解决特殊情形的思路,方法或者结果,推广或应用到一般问题上,从中找到解决一般问题的方法或预测问题的结论.“特殊化与一般化”是科学探索中的一种很重要的思想方法.唯物辩证法告诉我们,特殊化中包含着普遍性,普遍性存在于特殊性之中.为了求解决一般问题的方法,我们常常可以从其特殊的具体命题中去归纳,概括,猜想,然后再去解决一般问题.同样,在数学学习中,特殊化方法也有着十分广泛的应用.在解数学题时,我们经常把问题进行特殊化,通过解决特殊化了的问题,以获得一般问题的解决从一般问题“退”到特殊问题，是一种“以退为进”的谋略。华罗庚先生认为，善于“退”，一直“退”到原始而不失重要性的地方，是学习数学的一个诀窍。 首先我给予一下特殊化与一般化方法的定义. 一,特殊化与一般化方法的概念 特殊化是由普遍到个别的认识方法，是从考察一组给定的多数对象，转为考察包括在其中较少的一组对象.一般化是由个别到普遍的认识方法，它是从考虑一组对象，进而考虑包含该组对象在内的更大的一组对象.那么它们在中学数学解题当中有如何应用？它们有如何作用和特点？ 下面我们看一下特殊化与一般化方法在数学解题中的应用. 二、特殊化与一般方法在数学解题中的应用 辩证唯物主义认为：矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性之中，即共性寓于个性之中，共性通过个性来表现，没有脱离共性的个性，也没有脱离个性的共性.人类的认识活动，总是先认识个别的，特殊的事物，通过概括和推理来认识一般事物的.很多数学问题，其特殊情况与一般情况存在共性，通过对特殊情况的研究常能找出一般问题的规律，得到一般问题的结论；或者能获得解决一般问题的信息，为解决一般问题提供方向，进而解决一般问题；有些不易直接解决的一般性问题，通过适当变换转化成特殊问题求解，往往取得很好的效果。特殊化与一般化方法在数学解题中的应用主要有以下几方面： （1）,从特殊情形中得到证明一般情形的启发 当所要论证的问题比较抽象和复杂时，常常可以从中抓少数特殊情况加以分析，一方面可以检验结论，另一方面探索证明的途径，在证明特殊情形的过程中寻求规律，从而得到证明一般情形的启发。但是应当注意在解决了几个特殊情形的论证以后，需要回过头来进行一般情形的证明，这一步是必不可少的。这样方能使认识产生一个飞跃，从特殊达到一般。 例1: 是任意实数,证明直线必通过一定点,并求此定点的坐标. 分析:由于可取任意实数,所以方程代表一组直线,有无数多条,无法一一加以论证,这就给我们的证明带来一定的困难.如果从中选出两条直线,例如=0和=1,得到,它们交于一点(2,1),这就比较具体,假如所有的直线通过一个定点,这个点就应该是(2,1). 回过来进行证明,令,代入方程的左,右两边,可知满足方程,因此点(2,1),在直线中任意一条直线上,即所有直线必通过定点(2,1). （2）,将一般情形化为几种特殊情形逐一讨论 这种方法可以把比较广泛和复杂的问题化为比较单一的具体的几种情况分别加以论证。但是在划分时要注意把问题分成几个互不重复又不遗漏的情况，需要考虑周全. 例2: 为何实数时,关于的一元二次方程至少有一个正根? 分析:分两步讨论这个问题.首先,要求所给方程是二次方程且有实根,所以,即,且其次,把“至少有一个实根”分成相互排斥的3种情形：有两个正根；有一个正根和有一个负根；有一个正根和一个根为零，分别求出的值，最后综合起来，就得到问题的解. 设两根为,则有 有两个正根的情形. 解得 有一个正根和一个负根的情形. ,解得 有一个正根和一根为零的情形. 由一根为零得解得.当时,另一根为1. 把以上3种情形合起来得到,结合,,可知当且时,方程至少有一个正根. 这个问题也可用排除法,先求出两根均负时的取值