安徽省鼎尖名校2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题.docx
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安徽省鼎尖名校2024-2025学年高二上学期1月期末联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知等差数列满足，则（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．双曲线的渐近线方程为（????）
A． B． C． D．
3．若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（????）
A． B． C． D．
4．已知圆，则圆的圆心到坐标原点的距离为（????）
A．1 B． C． D．
5．已知平行六面体，满足，，，．若的中点为，则的长度为（????）
A．2 B． C． D．4
6．已知点，，点满足，同时满足，则点到轴的距离为（????）
A． B． C．1 D．
7．在空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（????）
A．1 B． C． D．2
8．已知抛物线的焦点为，圆．如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若，，则下列说法正确的是（????）
A． B．
C． D．数列为等比数列
10．如图，在棱长为4的正方体中，是线段上的动点，则下列说法正确的是（????）
A．存在点使得平面
B．无论点的位置，总有平面
C．若是的中点，则到平面的距离为
D．若直线与平面所成角的正弦值为，则
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（????）
A．弦长的取值范围为
B．若、两点的中点为，则直线的斜率为
C．若点在第一象限，满足的面积为1，则
D．若弦的中垂线与轴交于点，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知数列的前项和为，且，则．
13．已知过点有两条直线与圆相切，切点分别为，，则．
14．某同学设计了一种小游戏，规则如下：从第二局起，每一局将上一局中一个白球变成一个白球和一个黑球，一个黑球变成一个白球和两个黑球．按如此规律，若初始第一局为一个白球，则第七局游戏后所得白球与黑球的总数为．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知等差数列的首项为，公差，等比数列的首项为，公比为，且满足，，．
(1)求数列与的通项公式；
(2)求数列的前项和．
16．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，其纵坐标为，且．
(1)求的值；
(2)直线与抛物线相交于两点，若，求面积的最大值．
17．如图，正六边形的边长为2，将梯形沿翻折至，形成多面体，其中为的中点，连接．
??
(1)若点为的中点，证明：平面；
(2)若，求多面体的体积；
(3)若二面角的大小为，求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知数列满足，，是与的等比中项．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前项和；
(3)若数列对任意的，当时，都有成立，，求数列的前项和．
19．已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点．
(1)求曲线的方程；
(2)证明：为定值；
(3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】根据题意，因为，又因为数列为等差数列，
所以，，可得，所以．
故选：B
2．【答案】A
【详解】根据题意，，可知，
所以渐近线方程为：．
故选：A
3．【答案】D
【详解】根据题意：向量所在的直线斜率为，
设直线的倾斜角为，则，所以可得倾斜角为．
故选：D
4．【答案】B
【详解】根据题意，圆可化为，
所以圆的圆心为，所以圆心到坐标原点的距离为．
故选：B
5．【答案】C
【详解】根据题意，以，，为空间向量的一组基底，
所以，
，
所以，
可得，所以的长度为．
故选：C.
6．【答案】D
【详解】根据题意可知，点满足，设，
因为，所以可得，计算可得，，
又因为点满足，所以，
计算可得，，所以点是两个曲线的公共点，
联立两式相减可得，
代入圆可得，，所以点到轴的距离为．
故选：D.
7．【答案】C
【详解】设平面的法向量，
则，令，则，，
则平面的一个法向量为，
因平面平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，即．
故选：C.
8．【答案】B
【详解】根据题意，圆，可得，
所以该圆的圆心为，所以，，
所以，
设点，，易知斜率不为0，
设方程为：，
联立抛物线方程消去可得：，
所以，又，
两式