初中数学竞赛全辅导第二十七讲 动态几何问题透视.doc

【例题求解】 【例1】 如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到A″B″C″的位置，设BC=1，AC=，则顶点A运动到点A″的位置时，点A经过的路线与直线所围成的面积是 ． (黄冈市中考题) 思路点拨 解题的关键是将转动的图形准确分割．RtΔABC的两次转动，顶点A所经过 的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°，半径分别为2和，但该路线与直线所围成的面积不只是两个扇形面积之和． 【例2】如图，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，连结A′B′，当点P从点A移到点B时，A′B′的中点的位置( ) A．在平分AB的某直线上移动 B．在垂直AB的某直线上移动 C．在AmB上移动 D．保持固定不移动 (荆州市中考题) 思路点拨 画图、操作、实验，从中发现规律． 【例3】 如图，菱形OABC的长为4厘米，∠AOC＝60°，动点P从O出发，以每秒1厘米的速度沿O→A→B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线．设P点运动的时间为秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为厘米，请你回答下列问题： (1)当=3时，的值是多少? (2)就下列各种情形： ①0≤≤2；②2≤≤4；③4≤≤6；④6≤≤8．求与之间的函数关系式． (3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下与的关系． (吉林省中考题) 思路点拨 本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别讨论、画图、计算． 注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略． 建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值或自变量的值． 【例4】 如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1m／秒的速度向点A运动，点F沿折线A—D—C以2cm／秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为2 (秒)． (1)当为何值时，线段EF与BC平行? (2)设12，当为何值时，EF与半圆相切? (3)当1≤2时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP：PC的值． (江西省中考题) 思路点拨 动中取静，根据题意画出不同位置的图形，然后分别求解，这是解本例的基本策略，对于(1)、(2)，运用相关几何性质建立关于的方程；对于(3)，点P的位置是否发生变化，只需看是否为一定值． 注：动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律，而把特定的运动状态，通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想． 【例5】 ⊙O1与⊙O2相交于A、B两点；如图(1)，连结O2 O1并延长交⊙O1于P点，连结PA、PB并分别延长交⊙O2于C、D两点，连结C O2并延长交⊙O2于E点．已知⊙O2的半径为R，设∠CAD=． (1)求：CD的长(用含R、的式子表示)； (2)试判断CD与PO1的位置关系，并说明理由； (3)设点P′为⊙O1上(⊙O2外)的动点，连结P′A、P′B并分别延长交⊙O2于C′、D′，请你探究∠C′AD′是否等于? C′D′与P′Ol的位置关系如何?并说明理由． (济南市中考题) 思路点拨 对于(1)、(2)，作出圆中常见辅助线；对于(3)，P点虽为OOl上的一个动点，但⊙O1、⊙O2一些量(如半径、AB)都是定值或定弧，运用圆的性质，把