第二讲 证明不等式的基本方法阶段复习课 课件（人教A版选修4-5）.ppt

阶段复习课 第二讲 【答案速填】　①_______　　　　②_______　 ③________　　　 ④_______ 分析法 放缩法 作差法　 作商法 类型 一 比较法证明不等式 比较法证明不等式的依据及步骤 比较法证明不等式的依据:不等式的意义及实数比较大小的充要条件.作差比较法证明不等式的一般步骤:①作差;②恒等变形;③判断结果的符号;④下结论.其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形. 【典例1】设a,b∈(0,+∞),且a≠b,比较 与a+b的大小. 【解析】 因为a＞0,b＞0,且a≠b, 所以a+b,(a-b)2,(a2+ab+b2), 均为正数, 所以 所以 类型 二 综合法证明不等式 综合法证明不等式的依据与技巧 综合法证明不等式的依据：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论.证明时要注意：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握.综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立. 【典例2】设a,b,c为不全相等的正数，且abc=1, 求证： 【证明】因为a＞0,b＞0,c＞0，且abc=1， 所以 又 同理 因为a,b,c不全相等，所以上述三个不等式中的等号不能同时成立， 所以 即 所以 类型 三 分析法证明不等式 分析法证明不等式的依据及策略 分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式. 当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效. 【典例3】已知△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列，试用分析法证明：∠B为锐角. 【证明】要证明∠B为锐角，只需证cos B＞0， 又因为 所以只需证a2+c2－b2＞0, 即a2+c2＞b2， 因为a2+c2≥2ac， 所以只需证2ac＞b2， 由已知 即2ac=b(a+c). 所以只需证b(a+c)＞b2，即a+c＞b，显然成立. 所以∠B为锐角. 类型 四 反证法与放缩法 反证法的证明步骤与常见命题 运用反证法证明不等式，主要有以下两个步骤： ①作出与所证不等式相反的假设；②从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立. 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题.涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题，也常用反证法. 【典例4】已知0＜x＜2,0＜y＜2,0＜z＜2,求证：x(2-y), y(2-z),z(2-x)不都大于1. 【证明】假设x(2-y)＞1,y(2-z)＞1,z(2-x)＞1均成立. 则三式相乘有：xyz(2-x)(2-y)(2-z)＞1，…………………① 由于0＜x＜2,所以0＜x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1, 同理：0＜y(2-y)≤1,且0＜z(2-z)≤1, 所以三式相乘得0＜xyz(2-x)(2-y)(2-z)≤1，……………② ②与①矛盾，故假设不成立. 所以x(2-y),y(2-z),z(2-x)不都大于1. 【典例5】求证： 【证明】 故 【跟踪训练】 1.若a＞b＞c,n∈N*，且 恒成立，则n的最大 值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选C. 2.求证： 证明：欲证 只需证 只需证, 只需证 只需证 只需证21＜25，这显然成立. 所以 上述证明过程应用了 ( ) A.综合法 B.分析法 C.综合法、分析法配合使用 D.间接证法 【解析】选B.根据分析法的特点可知，上述证明过程是分析法. 3.如果loga3＞logb3且a+b=1,那么 ( ) A.0＜a＜b＜1 B.0＜b＜a＜1 C.1＜a＜b D.1＜b＜a 【解析】选A.因为a＞0,b＞0,a+b=1, 所以0＜a＜1,0＜b＜1, 所以lg a＜0,lg b＜0,由 所以0＜a＜b＜1