《谈谈中学数学中的最值问题》毕业学术论文.doc

PAGE PAGE 17 标题：谈谈中学数学中的最值问题 摘要：应随社会的进步，科技的进步教育必须应随着改革，归纳、总结、创新。中学数学教学同样面临改革，归纳，总结、创新。如何培养推进时代发展的人才，为将来打下良好基础，中学数学教学中“最值的求解”这个问题值得归纳，总结。最值的求解会更方便、更快速、更清晰地解决一些问题。最值问题是中学数学中的一个重要知识点，也是学生学习的一个难点。本文介绍了13种求最大值、最小值的方法。分别是配方法、平均值不等式法、反函数法、判别式法、将最值问题转化为其它问题的求法、换元法、几何法（包括可视为直线斜率的函数的最值、可视为距离的函数的最值和可视为曲线截距的函数的最值）、构造方差法、复数法、利用函数的单调性求函数的最值法、导数法、有界性法和无理函数的最值求法。 关键词：最大值 最小值 前言 最大值和最小值的问题是中学数学的重要知识，也是生产、科学研究和日常生活中常会遇到的一类特殊的数学问题。所谓“多、快、好、省”的就属于这一类。目前，针对这一问题已提出了多种多样的数学方法，以致形成了一门崭新的数学分支─最优化方法。在此，微分学为我们提供了一般通用的解决方法，同法无需考虑这个或那个我难题的特殊性，只需遵循规范的动作去执行，即可将问题解决。 然而，正是基于对具体问题本身的特殊性的使用，使得在摘要中提及的一般方法，也即不应用微分学有关知识和方法去解这类问题时，不但有效而且更简单、更迅速。中学数学中求有关最值的问题，就是用到这些方法。 如何求最大值和最小值的问题虽然没在中学数学课本中单独列出章节专门讲授，可是它却与中学数学中众多的知识和方法紧密相关。譬如：二次函数、不等式、函数的有界性、反函数的定义域、代数方程求根等有关知识和方法的应用。所以，这类最大值和最小值问题就在数学考试中占了比较重要的地位。另外，最大值和最小值的另一个显著特点是它的广泛的应用性和实用性。很多实际问题的解决可以归结为数学上的一个最大值或最小值问题的求解。这类实际问题的求解，将有利于学生把实际问题抽象成数学问题的训练，有利于分析问题和解决问题能力的培养，有利于数学应用意识的形成。解最大值最小值问题，一般较灵活。解法也往往反映出某种数学思想，反映出解答人的思维品质和数学素养。 中学数学中的最值问题 （一）常规函数的最值问题 1、配方法 通过配方法求得函数最值的方法。配方法通常是把一个一元二次式配成完全平方式的形式，其依据是完全平方公式。配方法是对数学式子进行定向变形的一种重要技巧，由于这种“完全平方”的恒等变形，使问题的结构发生了质的变化。从中可以找到已知与未知之间的关系，促成问题的解决，配方法在解题中还可以起到“化繁为简”的作用。 设二次函数f(x)=ax2+bx+c，根据配方法 f(x)=ax2+bx+c=， 在a0时，有最小值；a0时，有最大值. 例1、函数y=-x2+4x-2在区间[0,3]上的最大值为＿＿，最小值为＿＿. 解：配方有y=-x2+4x-2=2-（x-2）2≤2. 可见在区间[0,3]上，x=2时y取最大值2；x=0时y取最小值-2. 例2、已知x,yR，那么x2-xy+y2-2x+y的最小值等于＿＿. 解：暂时视y为常数，依变量x进行配方，有 X2-xy+y2-2x+y=[x2-(y+2)+()2]- ()2+y2+y =[x-()]2+y2-1≥-1， 可见当y=0,x=1时有最小值-1. 例3、已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0(其中k为实数)的两个根，则x12+x22的最大值为＿＿. 解：因为所给方程为实数，则判别式 ⊿=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)=-(3k2+16k+16)≥0, 解3k2+16k+16≤0得-4≤k≤-. 利用韦达定理，有 f(k)=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2 =(k-2)2-2(k2+3k+5) =-k2-10k-6 =-(k+5)2+19. 抛物线f(k)顶点为（-5，19），开口向下，所以f(k)在[-4, -]上是减函数，可见当k=-4, f(k)=x12+x22取最大值18. 例1所反映的是涉及二次函数的最值问题，我们直接或间接利用了配方法求解.这里需强调的是：必须注意自变量的取值范围.另外，当一个稍复杂的函数若能改写成“二次函数型”，即 f(x)=ag2(x)+bg(x)+c