“求两线段长度值和最小”问题全解析.doc

构建轴对称模型求线段和的最小值 近几年来，最小值问题成为中考命题的热点，其中有些问题的解决常用构建轴对称模型的方法。 考查知识点----“两点之间线段最短”，， 一、在等边三角形中探求线段和的最小值 例1（2010 山东滨州）如图所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为???????? . 模型求解：此题相当于在直线AD的同侧有两点C 、E?，在直线AD上有一个动点M，在AD上确定点M，使得CM+EM的值最小。 ? 二、在四边形背景下探求线段和的最小值 1.在等腰梯形中探求线段和的最小值 例2　如图，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为????????????? ． 解： 分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键． ?模型求解：此题相当于在直线EF的同侧有两点A、B，在直线EF上有一个动点P，在EF上确定点P，使得PA+PB的值最小。 ? 2.在菱形中探求线段和的最小值 例3　如图 菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为??????????? ． 解 分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点． ?模型求解：此题相当于在直线AC的同侧有两点B、E?，在直线AC上有一个动点P，在AC上确定点P，使得PB+PE的值最小。 ? 3.在正方形中探求线段和的最小值 ?例4　如图所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为?????????? ?． 分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点． ?模型求解：此题相当于在直线AC的同侧有两点D 、M?，在直线AD上有一个动点N，在AC上确定点N，使得DN+MN的值最小。 ? 跟踪练习1（2009达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 ???????????????????cm．（结果不取近似值）． 分析：在这里△PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法． ? 解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ== ，所以△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1． 2、(2009年抚顺市)如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） A． B． C．3 D． 3、 （本小题10分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. （Ⅰ） 求证：△AMB≌△ENB； （Ⅱ） ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小； ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； （Ⅲ） 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长. ? （Ⅱ）①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小 ②当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长（Ⅲ）正方形的边长为. ?例5（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1. ?（1）求反比例函数的解析式； ?（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小. ? 答案(1)?y=．(2)点P在（，0）时，PA+PB的值最小． ? 四、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值 ?例6（2010年天津）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. ?（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标； ?（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，