北京市朝阳区2015届高三上学期期中考试数学理试题和答案.doc

北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期中统一考试 数学试卷（理工类） 2014.11 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．,则集合等于 A. B. C. D. 2.已知命题，；命题：.则下列判断正确的是A．是假命题 B．是真命题 C．是真命题 D．是真命题 的值是 A.120 B.105 C.15 D.5 4.曲线与直线及轴所围成的图形的面积是 A. B. C. D. 5.设是两个非零的平面向量，下列说法正确的是 若，则有； ； 若存在实数λ，使得＝λ，则； ④若，则存在实数λ，使得＝λ. A. ①③ B. ①④ C.②③ D. ②④ 6.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）.要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为 A. 3000 B.3300 C.3500 D.4000 7.如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数（其中 ）， 则估计中午12时的温度近似为（ ） A. 30 ℃ B. 27 ℃ C.25 ℃ D.24 ℃ 8.设函数满足下列条件： （1）对任意实数都有； （2），，. 下列四个命题： ①； ②； ③；④当，时，的最大值为. 其中所有正确命题的序号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①③④ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知平面向量满足，，且，则向量的坐标是_______. 10.已知， ，则的值是_______;的值是_______. 11.若 是奇函数，则的值是_______. 12.已知等差数列中，为其前项和.若，, 则公差_______；数列的前______项和最大. 13.已知，满足条件若目标函数(其中)仅在点 处取得最大值，则的取值范围是. 14.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔和.已知从塔的底部看塔顶部的仰角是从塔的底部看塔顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔的底部看塔顶部的仰角的正切值为 ；塔的高为 m. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分） 已知函数（）的图象经过点. （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递减区间. 16. （本小题满分13分） 如图，在△中，为钝角，．为延长线上一点，且． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）求的长及△的面积． 17. （本小题满分13分） 在递减的等比数列中，设为其前项和，已知，. (Ⅰ)求，； （Ⅱ）设，试比较与的大小关系，并说明理由. 18. （本小题满分14分） 已知函数. (Ⅰ)求函数的单调区间; （Ⅱ）若在上是单调函数，求的取值范围. 19.（本小题满分14分） 已知，若在区间内有且仅有一个，使得成立，则称函数具有性质. (Ⅰ)若，判断是否具有性质，说明理由； （Ⅱ）若函数具有性质，试求实数的取值范围. 20. （本小题满分13分） 对于项数为的有穷数列，记，即为中的最大值，则称是的“控制数列”，各项中不同数值的个数称为的“控制阶数”. (Ⅰ)若各项均为正整数的数列的控制数列为，写出所有的； （Ⅱ）若，，其中，是的控制数列，试用表示 的值； (Ⅲ)在的所有全排列中，将每种排列视为一个数列，对于其中控制阶数为2的所有数列，求它们的首项之和. 北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期中统一考试