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数列解题技巧归纳总结 等差数列与等比数列： 等差数列 等比数列 文字定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。 符号定义 分类 递增数列： 递减数列： 常数数列： 递增数列： 递减数列： 摆动数列： 常数数列： 通项 其中 （） 前n项和 其中 中项 主要性质 等和性：等差数列 若则 推论：若则 即：首尾颠倒相加，则和相等 等积性：等比数列 若则 推论：若则 即：首尾颠倒相乘，则积相等 其 它 性 质 1、等差数列中连续项的和，组成的新数列是等差数列。即： 等差，公差为则有 2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。 如：（下标成等差数列） 3、等差，则，，，也等差。 4、等差数列的通项公式是的一次函数，即：() 等差数列的前项和公式是一个没有常数项的的二次函数， 即：() 5、项数为奇数的等差数列有： 　项数为偶数的等差数列有： ， 6、则 　则 则 1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即：等比，公比为。 2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。 如：（下标成等差数列） 3、等比，则，， 也等比。其中 4、等比数列的通项公式类似于的指数函数， 即：，其中 　等比数列的前项和公式是一个平移加振幅的的指数函数，即： 5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。 证明方法 证明一个数列为等差数列的方法： 1、定义法： 2、中项法： 证明一个数列为等比数列的方法： 1、定义法： 2、中项法： 设元技巧 三数等差： 四数等差： 三数等比： 四数等比： 联系 1、若数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。 2、若数列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为，其中是常数且，是的公比。 数列的项与前项和的关系： 数列求和的常用方法： 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。 2、错项相减法：适用于差比数列（如果等差，等比，那么叫做差比数列） 即把每一项都乘以的公比，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。 3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。 　　　　　　　适用于数列和（其中等差） 　　　　　　　可裂项为：， 等差数列前项和的最值问题： 1、若等差数列的首项，公差，则前项和有最大值。 （ⅰ）若已知通项，则最大； （ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大； 2、若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值 （ⅰ）若已知通项，则最小； （ⅱ）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小； 数列通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知（即）求，用作差法：。 已知求，用作商法：。 ⑶已知条件中既有还有，有时先求，再求；有时也可直接求。 ⑷若求用累加法： 。 ⑸已知求，用累乘法：。 ⑹已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。 特别地，（1）形如、（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求；形如的递推数列都可以除以得到一个等差数列后，再求。 （2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。 （3）形如的递推数列都可以用对数法求通项。 （7）数学归纳法。 （8）当遇到时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段。 一、典型数列的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。 （2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d，q为常数） 【例1】 已知满足，而且，求。 【例2】 已知满足，而，求。 (2)递推式为an+1=an+f（n） 【例3】 已知中，，求。 (3)递推式为an+1=pan+q（p，q为常数） 【例4】 中，，对于n＞1（n∈N）有，求。 (4)递推式为an+1=p an+q n（p，q为常数） (5)递推式为 思路：设,可以变形为：， 想 于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。 【例6】 。 (6)递推式为Sn与an的关系式 关系；（2）试用n表示an。 2．数列求和问题的方法 （1）、应用公式法 等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。 1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2 【例8】 求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n项的和。