程序设计实践—渗漏仿真.pdf
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1.渗漏(percolation)理论概述
关于渗漏理论的一个典型问题是,有一多空材料,我们在该材料的顶部倒上水,水是否
会沿材料内部的孔洞渗漏到材料的底部。在数学上,用来研究随机图(random graph)上
连通团(connected cluster)的数学性质的理论称为渗漏理论(percolation theory)。
我们可以将渗漏问题抽象一个数学模型:给定 N ×N 的点阵,点阵中邻接节点之间以概
率 p 随机发生连接,并且我们假设节点之间发生连接是概率独立的。
图1.1 20μ20 点阵空间模型
图1.2 连接概率p 0.2 的20μ20 点阵 图1.3 连接概率p 0.55 的20μ20 点阵
对于渗漏,我们关心以下几个问题:
连通判定 ,即任意给定点阵中的两个节点 、 , 与 之间是否存在连通通路?
p 1 p 2 p 1 p 2
特别地,如果顶层节点与底层节点间如果存在连通通路则该点阵发生渗漏。
连通团 ,给定连接概率 ,随机生成的点阵中存在连通团(cluster),找出所有的连
p
通团,连通团的平均大小。
渗漏发生的临界概率 p ,对于渗漏,一个有趣的现象是:“当连接概率 小于某一
c p
概率 p c 时不会发生渗漏,而一旦 p ≥p c 时渗漏随即发生。那么 p c 等于多少呢?”
图1.4 连接概率p 0.4 的20μ20 点阵 图1.5 连接概率p 0.55 的20μ20 点阵
给定两个点(5,0)、(10,19),两点不连通。 给定两个点(4,0)、(12,19),两点连通,连
通团用蓝色标明,发生从顶部到底部渗漏
图1.5 连接概率p 0.45 的50μ50 点阵 图1.6 连接概率p 0.53 的50μ50 点阵
用不同颜色将各连通团标明,没有渗漏 用不同颜色将各连通团标明,发生从顶部
现象出现 到底部的渗漏
图1.8 连接概率p 0.35 的 图1.9 连接概率p 0.4 的 图1.10 连接概率p 0.45 的
30μ30 点阵用不同颜色将 30μ30
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