《二零一六-11兰州大学高等代数考研真题》.pdf
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兰州大学2009年招收攻读硕士学位研究生考试试题
注意:答案请一律写在答题纸上,写在试题上无效
初试科目代码:801 初试科目名称:高等代数
25 1
一、( 分)( )设a,a ,⋯,a 为互不相同的整数,
1 2 n
证明: 2 2 2 在有理数域上不可约。
f(x)= (x−a) (x−a ) ⋯(x−a ) +1
1 2 n
(2)证明:数域 上的 次多项式f(x)能被它的微商f (x)整
F n (n 0)
n
除的充要条件是 ( ) ( ) ( )
f x = a x−b . a,b∈F
15
二、( 分)计算下列行列式
x a a ⋯ a 1 3 3 ⋯ 3
−a x a ⋯ a 3 2 3 ⋯ 3
( ) ;( )
1 D = −a −a x ⋯ a 2 D = 3 3 3 ⋯ 3
n n
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ a ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
−a −a −a ⋯ x 3 3 3 ⋯ n
15 n
三、( 分)设A,B,C,D均为 阶实矩阵,且AC=CA。证明:
A B
= AD−CB。
C D
n ( 2 )
四、(20分)证明: 级矩阵A为幂等阵 A = A 的充要条件为
r(A)+r(E− A)= n。
15 n
五、( 分)设A是 级正交矩阵,其特征值均为实数,证明:A是
对称矩阵。
15 n −1
六、( 分)A,B都是 级正交矩阵,证明:A , A+ B是正定矩阵。
σ n V
七、(20分)设 是 维线性空间 上的线性变换,σ(V)的一组基
为β,β ,⋯,β ;α 是β的原象,即σ(α )=β(i=1,2,⋯,s),
1 2 s i i i i
W= L(α ,α ,⋯,α )证明:
1 2 n
1 −1
( )V=W⊕σ (0);
(2)σ的秩+σ的零度= n。
25
八、( 分)已知矩阵
1 2 2 −1 0 0
A= 2 a 2、B= 0 −1 0
2 2 1 0 0 b
−1
问 取何值时A与B相似,并求可逆矩阵B使得P AP= B。
a,b
2011 年兰州大学研究生入学考试高等代数试题
一、 (15分)设p (x ) 是数域 上的次数大于零的多项式.证明:p (x ) 是一个不可约多
(1)
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