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《二零一六-11兰州大学高等代数考研真题》.pdf

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兰州大学2009年招收攻读硕士学位研究生考试试题 注意:答案请一律写在答题纸上,写在试题上无效 初试科目代码:801 初试科目名称:高等代数 25 1 一、( 分)( )设a,a ,⋯,a 为互不相同的整数, 1 2 n 证明: 2 2 2 在有理数域上不可约。 f(x)= (x−a) (x−a ) ⋯(x−a ) +1 1 2 n (2)证明:数域 上的 次多项式f(x)能被它的微商f (x)整 F n (n 0) n 除的充要条件是 ( ) ( ) ( ) f x = a x−b . a,b∈F 15 二、( 分)计算下列行列式 x a a ⋯ a 1 3 3 ⋯ 3 −a x a ⋯ a 3 2 3 ⋯ 3 ( ) ;( ) 1 D = −a −a x ⋯ a 2 D = 3 3 3 ⋯ 3 n n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ a ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ −a −a −a ⋯ x 3 3 3 ⋯ n 15 n 三、( 分)设A,B,C,D均为 阶实矩阵,且AC=CA。证明: A B = AD−CB。 C D n ( 2 ) 四、(20分)证明: 级矩阵A为幂等阵 A = A 的充要条件为 r(A)+r(E− A)= n。 15 n 五、( 分)设A是 级正交矩阵,其特征值均为实数,证明:A是 对称矩阵。 15 n −1 六、( 分)A,B都是 级正交矩阵,证明:A , A+ B是正定矩阵。 σ n V 七、(20分)设 是 维线性空间 上的线性变换,σ(V)的一组基 为β,β ,⋯,β ;α 是β的原象,即σ(α )=β(i=1,2,⋯,s), 1 2 s i i i i W= L(α ,α ,⋯,α )证明: 1 2 n 1 −1 ( )V=W⊕σ (0); (2)σ的秩+σ的零度= n。 25 八、( 分)已知矩阵 1 2 2 −1 0 0 A= 2 a 2、B= 0 −1 0 2 2 1 0 0 b −1 问 取何值时A与B相似,并求可逆矩阵B使得P AP= B。 a,b 2011 年兰州大学研究生入学考试高等代数试题 一、 (15分)设p (x ) 是数域 上的次数大于零的多项式.证明:p (x ) 是一个不可约多 (1)
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