北信科2010-2011高数(下)期中考试试题.doc

北京信息科技大学 2010-2011学年第2学期 《高等数学》176学时课程期中考试试题（答案） 一、填空题（共10分，每小题2分） 1． 2. 求过点且平行于直线 的直线方程 是 3．面的抛物线 绕轴旋转一周所成的旋转曲面方程 是 4. 曲线在面的投影曲线是 5. 设 由几何意义知 二、解答题（共63分，每小题7分） 1. 已知三点，求同时垂直于与的单位向量 解：由已知得： ， ┄┄┄┄┄（4分） 同时垂直于与的单位向量为 ┄┄┄┄┄（7分） 2. 已知 求 解：┄┄┄┄（1分） ┄┄┄┄（7分） 3. 已知 其中具有二阶连续偏导数， 解： ┄┄┄┄（3分） ┄┄┄┄（7分） 4. 设由方程所确定， 解：方程两边分别对和求偏导数得 ┄┄┄┄（3.5分） ┄┄┄┄（7分） 5. 求曲面在点处的切平面 解：令┄┄┄┄（1分） 曲面在点处的法向量为 ┄┄（4分） 所以曲面在点处的切平面方程为 即 ┄┄┄┄（7分） 6. 问函数在点处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值 答：函数在点处沿梯度方向的方向导数最大， 且 ┄┄┄┄（5分） 方向导数的最大值为梯度的模 ┄┄┄┄（7分） 7. 解: 令 解得驻点┄┄┄┄（3分） 又┄┄┄┄（4分） 又，所以不是极值点┄┄┄┄（5分） 又，又┄┄┄┄（6分） 所以是极小值点，且┄┄┄┄（7分） 8．的积分次序 解: 积分区域为 y—型区域 （如图） 又积分区域为可表示为 ┄┄┄┄（3分） ┄┄┄┄（7分） 9． 化为柱面坐标系下的三次积分 解:解方程组 于是将Ω投影到xoy面得投影区域（如图） 利用柱面坐标Ω可表示为 ┄┄┄┄（3分） ┄┄┄┄（7分） 三、计算下列各题(27分) 1．及直线 (9分) 解：如图所示区域用极坐标表示为 ┄┄┄┄（2分） ┄┄┄┄6分） ┄┄┄┄（9分） 2．(9分) 解：如图所示区域 将区域看作x—型区域, ┄┄┄┄（2分） ┄┄┄┄（6分） ┄┄┄┄（8分） ┄┄┄┄（9分） 3． ，其中区域：（如图所示）┄┄（2分） 用极坐标表示为┄┄┄┄（4分） ┄┄┄┄（9分） 解法2：(利用三重积分计算）设曲面所围闭区域为，则 ┄┄┄┄（2分） 其中┄┄┄┄（4分） ┄┄┄┄（9分） 6 D1 oy y x D2 2分 2分 2分 y=x