高二数学均值定理.ppt

关于高二数学均值定理第1页，共19页，星期日，2025年，2月5日

abc图①abc图②第2页，共19页，星期日，2025年，2月5日

从上面实例可知，若a＞0，b＞0则a2+b2≥2ab（当a=b时取等号），那么a2+b2≥2ab是否对于a、b∈R都成立呢？由于不等式复杂多样，仅有实数大小比较法则是不够的，我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法第3页，共19页，星期日，2025年，2月5日

式子a2+b2≥2ab表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍这就是本节要介绍的一个重要不等式，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立，由于取“=”这种情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出等号“=”成立的充要条件第4页，共19页，星期日，2025年，2月5日

式子a2+b2≥2ab中取等号的充要条件是什么呢？如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）充要条件通常用“当且仅当”来表示，“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的，所以a2+b2≥2ab可以表述为：第5页，共19页，星期日，2025年，2月5日

例1：已知a＞0，b＞0求证：a+b≥2√ab定理：如果a、b是正数，那么≥√ab(当且仅当a=b时取“=”号)。a+b2这一定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。称为a、b的算术平均数，称√ab为a、b的几何平均数a+b2这里要注意代换法的应用第6页，共19页，星期日，2025年，2月5日

该定理是否还有另外的表述？如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。a+b2√ab现给出这一定理的一种几何解释（演示）第7页，共19页，星期日，2025年，2月5日

定理有何特征？现在有谁能快速地求出函数y=x2+的最小值。1x2一边是和，一边是积。由此例我们能发现什么？具体的说，要求两个正数和的最小值，只要什么是定值呢？第8页，共19页，星期日，2025年，2月5日

如果两正数的和为定值，你能获得怎样的结果呢？证明：因为x，y都是正数，所以≥√xy，积xy为定值p时，有≥√P，∴x+y≥2√P.上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，和x+y有最小值2√P。x+y2x+y2例2（1）已知x，y都是正数，求证：如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2√p。第9页，共19页，星期日，2025年，2月5日

（2）x，y都是正数,如果和x+y是定值S，那么当x=y时，积xy有最大值S2。14证明：和x+y为定值S时，有√xy≤，∴xy≤S2。上式当x=y时取“=”号，因此x=y时，积xy有最大值S2。S214141）两个正数，积定和小，和定积大。总结：2）运用定理时，可以进行灵活变形，如第10页，共19页，星期日，2025年，2月5日

判断下列命题的真假（1）若a，b∈R则+≥2√·=2（2）若ab＞0则+≥2（3）若x＞0则x+≥2√x·=2（4）若x＞0则sinx+≥2√sinx·=2baabbaab1x1xabba1sinx1sinx第11页，共19页，星期日，2025年，2月5日

例3：已知a，b，c，d都是正数求证：（ab+cd）(ac+bd)≥4abcd。引申：若a，b，c，d都是正数求证：(a+b)(b+c)(c+a)≥8abcab+cd2√ab·cd＞0ac+bd2√ac·bd＞0证明：由a，b，c，d都是正数，得≥，≥∴≥abcd，即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd(ab+cd)(ac+bd)4第12页，共19页，星期日，2025年，2月5日

（1）知识上a＋b≥2√ab积定和小，和定积大（2）方法上（3）思想上渗透数形结合思想a2≥0a-b代aa2+b2≥2ab√a—√b代aa+b≥2√ab换元法